Unleserlich! Häufungspunkt

11.01.2024, 22:45

soyo

Häufungspunkt

Meine Frage:
Sei x eine irrationale reelle Zahl. Wir setzen an=e^2?inx alle n ? N.
Zeigen Sie, dass jedes z ? C mit |z| = 1 ein Häufungspunkt der Folge (an) ist.

Meine Ideen:
Ich verstehe diese Folge nicht und auch nicht was mir die Irrationalität von x gibt. (Evtl. das es kein n aus N gibt mit nx ist aus Z und somit ist cosinus nie 0 aber selbst das hilft mir nicht weiter)

12.01.2024, 08:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von soyo
Wir setzen an=e^2?inx alle n ? N.

Ich nehme an, das ist die geschluderte Copy+Paste-Variante von $\begin{eqnarray*} a_n = e^{2\pi~i~nx} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

)

Ohne dass $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ im Spiel ist, dürfte die Aussage nämlich falsch sein...

Zitat:

Original von soyo
und auch nicht was mir die Irrationalität von x gibt.

Nehmen wir z.B. die rationale Zahl $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ , das bedeutet für diese Folge $\begin{eqnarray*} a_n = e^{2\pi~i~n} = 1 \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ !!! Also nichts da "mit jedes $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ ist Häufungspunkt der Folge", stattdessen gibt es nur den einen Häufungspunkt 1.

Leicht erweitert: Ist $\begin{eqnarray*} x=\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit teilerfremden ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q\geq 1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Folge $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right) \end{eqnarray*}$ periodisch mit Periode $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ , genauer gesagt werden dabei die $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ -ten Einheitswurzeln immer wieder durchlaufen. Also auch in diesem Fall nur endlich viele Häufungspunkte statt des gesamten Einheitskreises.

Das sollte als Illustration dessen genügen, was passiert wenn man auf Voraussetzung " $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ irrational" verzichtet.

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Zum eigentlichen Beweis: Jede Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ wird in eindeutiger Weise repräsentiert durch ein $\begin{eqnarray*} t\in\left[0,1\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = e^{2\pi~i~t} \end{eqnarray*}$ .

Die Konvergenz einer Teilfolge $\begin{eqnarray*} a_{n_k} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist nun äquivalent dazu, dass man eine Folge $\begin{eqnarray*} \left(m_k\right) \end{eqnarray*}$ ganzer Zahlen findet mit $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} \left( 2\pi i n_k x - 2\pi i m_k\right) = 2\pi i t \end{eqnarray*}$ , d.h. nach Division bedeutet das $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} \left( n_k x - m_k\right) = t \end{eqnarray*}$ .

Zum Finden einer solchen Folge könnte etwa der Dirichletsche Approximationssatz hilfreich sein.

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