Rechnen mit Produkten

12.01.2024, 14:49

Malcang

Rechnen mit Produkten

Hallo mal wieder smile

inhaltlich gehört diese Frage sicher ins Schulforum, aber mir geht es "wieder mal" um die Erfahrung fortgeschrittener Leser.

Ich habe folgende Ausdrücke mit Produkten mit den Legendresymbolen $\begin{eqnarray*} \big( \frac{p}{q} \big) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ Primzahlen sind:

(1)

Zitat:

Es ist
$\begin{eqnarray*} <br /> \prod\limits_{q \in \mathbb P} \prod\limits_{p \in \mathbb P} \big( \frac{p}{q} \big)^{\alpha_p\cdot \beta_q}=\prod\limits_{p \in \mathbb P} \prod\limits_{q \in \mathbb P} \big( \frac{p}{q} \big)^{\alpha_p\cdot \beta_q}-<br /> \end{eqnarray*}$

Weiß man, dass das Vertauschen der Indizes auf die Kommutativität der Multiplikation zurückzuführen ist? Ich meine, ich weiß es zwar, aber man könnte ja auch einen Beweis führen. Der wäre zwar kurz, aber möglicherweise auch zuviel des Guten.

(2)

Zitat:

Es ist
$\begin{eqnarray*} <br /> \big(\prod\limits_{p \in \mathbb P} \big( \frac{p}{q} \big)^{\alpha_p}\big)^{\beta_q}= \prod\limits_{p \in \mathbb P} \big( \frac{p}{q} \big)^{\alpha_p\cdot\beta_q}<br /> \end{eqnarray*}$

Auch hier könnte ich einen kurzen Beweis führen, jedenfalls mit viel $\begin{eqnarray*} \dots \end{eqnarray*}$ -Auslassungen. Aber das ist mir auch gar nicht so Recht.
Oder ist auch dieser Punkt offensichtlich?

12.01.2024, 16:44

IfindU

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RE: Rechnen mit Produkten
(1) Natürlich weiß man das. Ich würde im Extremfall sagen, dass du die Kommutativität hier benutzt. Alles mehr ist schon definitiv zu viel. Zum Fachlichen: Wichtig hier ist aber, dass fast alle (d.h. alle bis auf endlich viele) Faktoren 1 sind. Solange es ein endliches Produkt ist, ist alles einfach. Ich würde vermuten, dass es sonst Gegenbeispiele gibt.

(2) Auch das ist trivial für endliche Produkte und praktisch nur Kommutativität (da $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \end{eqnarray*}$ sicher immer natürliche Zahlen sind).

12.01.2024, 16:58

Malcang

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IfindU, ich danke vielmals für deine Zeit! Freude

Ich hätte in der Tat erwähnen sollen, dass es sich hier um endliche Produkte handelt.
Berechnet wird hier das Jacobisymbol $\begin{eqnarray*} \big( \frac{a}{m} \big) \end{eqnarray*}$ , wobei wir die Primfaktorzerlegungen betrachten:
$\begin{eqnarray*} a = \prod\limits_{p\in\mathbb P}p^{\alpha_p} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m = \prod\limits_{q\in\mathbb P}q^{\beta_q}. \end{eqnarray*}$

Damit liegen dann ja in der Tat jeweils natürliche Zahlen (oder Null) vor und die Produkte sind endlich.

Vielen Dank!!

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