Muss ich einen Beweis führen (hier: Berechnung des Jacobi-Symbols)

Neue Frage »

12.01.2024, 20:12

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich einen Beweis führen (hier: Berechnung des Jacobi-Symbols)

Und da bin ich schon wieder smile

Ich habe für das Jacobi-Symbol folgendes bewiesen:

Zitat:

Behauptung 1: Seien $\begin{eqnarray*} a, b \end{eqnarray*}$ ganze Zahlen und sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine ungerade Primzahl.. Dann gilt $\begin{eqnarray*} \big( \frac{ab}{p} \big) = \big( \frac{a}{p} \big) \cdot \big( \frac{b}{p} \big). \end{eqnarray*}$

Dies lässt sich durch Anwendung des Euler-Kriteriums leicht zeigen. Nun frage ich mich, ob folgendes reicht:

Zitat:

Behaptung 2: Sei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl mit der Primfaktorzerlegung $\begin{eqnarray*} a = \prod\limits_{p\in\mathbb P} p^{\alpha_p}. \end{eqnarray*}$ Weiterhin sei $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ eine ungerade Primzahl. Aus Behauptung 1 folgt sofort:

$\begin{eqnarray*} \big( \frac{a}{q}\big) = \big( \frac{\prod\limits_{p\in\mathbb P} p^{\alpha_p}}{q}\big) = \prod\limits_{p\in\mathbb P} \big( \frac{p^{\alpha_p}}{q}\big) =\prod\limits_{p\in\mathbb P} \big( \frac{p}{q}\big)^{\alpha_p}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Ich könnte natürlich Behauptung 1 direkt mit der Primfaktorzerlegung zeigen. Aber mich interessiert ob es ok ist, nun von $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ beliebigen Faktoren auf endlich viele Faktoren (bzw. Primfaktoren) zu schließen.

12.01.2024, 22:40

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Muss ich einen Beweis führen (hier: Berechnung des Jacobi-Symbols)

Zitat:

Original von Malcang
Ich könnte natürlich Behauptung 1 direkt mit der Primfaktorzerlegung zeigen. Aber mich interessiert ob es ok ist, nun von $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ beliebigen Faktoren auf endlich viele Faktoren (bzw. Primfaktoren) zu schließen.

Ja, du kannst nämlich immer Paare von Faktoren bilden, wobei du einen Faktor von den endlich vielen Faktoren abgreifst und der andere Faktor eben ein Produkt aus endlich vielen minus 1 Faktoren ist. Dann kannst du von den endlich vielen minus 1 Faktoren immer wieder einen Faktor abgreifen und so weitere Paare bilden, bis nur noch 1 Faktor übrig bleibt.

13.01.2024, 11:24

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

vielen Dank Romaxx für deine Antwort.
Nun hast du ja aber quasi einen Beweis geführt Big Laugh

Ich habe die Befürchtung dass der Leser meiner Arbeit sich nämlich genau das denkt und zu mir sagt "Dann hättest du als Autor auch den Beweis führen sollen".

13.01.2024, 11:52

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Richard Dedekind hat gesagt, in der Wissenschaft soll nichts geglaubt werden, was bewiesen werden kann. ("Was sind und was sollen die Zahlen?"). Also frage nicht, ob du Beweise führen sollst sondern beweise immer alles was du beweisen kannst.

13.01.2024, 12:19

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Malcang
Guten Morgen,

vielen Dank Romaxx für deine Antwort.
Nun hast du ja aber quasi einen Beweis geführt Big Laugh

Ich habe die Befürchtung dass der Leser meiner Arbeit sich nämlich genau das denkt und zu mir sagt "Dann hättest du als Autor auch den Beweis führen sollen".

Du hast schon recht, dass ich das etwas weiter ausgeführt habe, könnte man als Beweis sehen, ich persönlich würde mich aber nicht daran stören, wenn mir jemand die Schritte bei Behauptung 2 so durchführt, wie du es gemacht hast, lediglich durch Untermauerung von Behauptung 1.
Manche Schritte sind so offensichtlich, dass man keine weitere Begründung Bedarf.
Ist aber jetzt meine persönliche Meinung zu nur dieser Behauptung, für manche Personen ist dieser Schritt eben nicht so klar, dann sollte man sich durch einen Beweis vergewissern.

Elvis hat da aber womöglich etwas mehr Lebenserfahrung mit 71 Jahren, und du solltest auf sein gegebenes Zitat hören.

13.01.2024, 18:26

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin da wohl sehr einfach gestrickt. Ich würde da nur den Satz ergänzen "Vermöge der Assoziativität folgt aus iterativer Anwendung die Multiplikativität für endlich-viele Faktoren". Natürlich könnte man das leicht via Induktion zeigen, und bereits für das erste Semester sollte das eine leichte Übung sein. Es 4-5 Jahre später im Rahmen einer Masterarbeit zu machen wirkt etwas albern.

13.01.2024, 18:53

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Rahmen einer Masterarbeit fände ich es auch charmant, den Beweis dieses Schrittes dem interessierten Leser als einfache Übungsaufgabe zu überlassen. Dazu würde ich IfindUs Aussage verwenden:

"Der interessierte Leser kann sich der Erweiterung dieses Schrittes auf endlich viele Faktoren durch Induktion und Anwendung des Assoziativegesetzes selber vergewissern."

14.01.2024, 09:51

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Dass endliche Summen und endliche Produkte von Körperelementen assoziativ und kommutativ sind, ist natürlich trivial, und man muss es nicht immer wieder beweisen. Wir haben früher $\begin{eqnarray*} \Sigma', \Pi' \end{eqnarray*}$ für endliche Summen und Produkte und $\begin{eqnarray*} \Sigma, \Pi \end{eqnarray*}$ für Reihen und unendliche Produkte benutzt. Das hilft den Lesern, triviale und nichttriviale Sachverhalte zu unterscheiden. Insbesondere dann, wenn über unendliche Indexmengen addiert oder multipliziert wird, macht der Strich deutlich, dass nur endlich viele Summanden von 0 bzw. nur endlich viele Faktoren von 1 verschieden sind.

14.01.2024, 11:50

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen zusammen,

vielen Dank für eure rege Anteilnahme an dieser Diskussion. Das hat mir guten Input gegeben Freude

Es dem Leser zu überlassen finde ich zwar charmant, aber der Beweis ist ja selber auch nicht viel länger als mit zwei Faktoren. Ich müsste ihn halt nur an einer anderen Stelle ebenfalls ändern (habe das für das Legendre- und für das Jacobi-Symbol bewiesen).
Ich würde euch zumindest gerne den ausführlichen Beweis einmal vorstellen. Wenn ich ihn getext habe, dann würde ich einen anderen Thread dafür aufmachen. Ihr seid doch herzlich willkommen smile

Danke sehr für eure Hilfe!

14.01.2024, 16:01

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde auf keinen Fall den Beweis auf mehrere Faktoren verkomplizieren. Das verschleiert nur die Kernideen vom eigentlichen Beweis unnötig.

Ich denke das allgemeinste was man machen und beweisen kann:

Seien $\begin{eqnarray*} (G, *_G), (H, *_H) \end{eqnarray*}$ zwei Halbgruppen und $\begin{eqnarray*} f \colon G \to H \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus, d.h. $\begin{eqnarray*} f(a*_G b) = f(a) *_H f(b) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in G \end{eqnarray*}$ . Dann gilt
$\begin{eqnarray*} f ( g_1 *_G g_2 *_G \ldots *_G g_n) = f(g_1) *_H f(g_2) *_H \ldots *_H f(g_n) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} g_1, \ldots g_n \in G \end{eqnarray*}$ .

Wie gesagt kann man das leicht via Induktion zeigen. Und das kann man auf alles loswerfen was du brauchst. Bei dir wäre das wohl $\begin{eqnarray*} G=H=\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(z) = \left ( \frac z p\right) \end{eqnarray*}$ .

14.01.2024, 19:53

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
Ich würde auf keinen Fall den Beweis auf mehrere Faktoren verkomplizieren. Das verschleiert nur die Kernideen vom eigentlichen Beweis unnötig.

Mein "alter" Beweis ist dieser hier ( (a) ):
[attach]57466[/attach]

Ich habe es mal mit dem "neuen" versucht und würde mich in diesem Thread wieder über eure Meinungen freuen smile

(falls es nicht in Ordnung war, dafür einen neuen aufzumachen, bitte ich die Moderation, die beiden zusammenzuführen).

Neue Frage »

Antworten »

Muss ich einen Beweis führen (hier: Berechnung des Jacobi-Symbols)

Verwandte Themen