DGL 2. Ordnung

13.01.2024, 06:54

MMchen60

DGL 2. Ordnung

Liebe Forumsgemeinde,
in angehängter Klausuraufgabe (Hochschule Karlsruhe) soll man bestimmt nicht die Lösung der DGL herleiten, die im Lösungsteil ja angegeben ist. Kann man diese Lösung irgendwo in einer Tabelle finden?
Dann, die Lösung für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ konnte ich nachvollziehen. Wie abr kommt man daraus zu a ud b?
Vielen Dank für Antwort.

13.01.2024, 17:11

IfindU

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RE: DGL 2. Ordnung
Da die Gleichung linear in $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist, ignorier ichs mal (ist weniger Schreibarbeit).

Mit $\begin{eqnarray*} y = e^{\alpha x} \cos (\beta x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} y' = \alpha e^{\alpha x} \cos (\beta x) -\beta e^{\alpha x} \sin (\beta x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'' = \alpha^2 e^{\alpha x} \cos (\beta x) -2\alpha\beta e^{\alpha x} \sin (\beta x) -\beta^2 e^{\alpha x} \cos (\beta x) \end{eqnarray*}$ .

Eingesetzt in die Differentialgleichung ist $\begin{eqnarray*} y'' + a y' + b y = \alpha^2 e^{\alpha x} \cos (\beta x) -2\alpha\beta e^{\alpha x} \sin (\beta x) -\beta^2 e^{\alpha x} \cos (\beta x) + a ( \alpha e^{\alpha x} \cos (\beta x) -\beta e^{\alpha x} \sin (\beta x)) + b e^{\alpha x} \cos (\beta x) \end{eqnarray*}$ . Umsortiert nach den (über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ unabhängigen Funktionen $\begin{eqnarray*} x\mapsto e^{\alpha x} \sin(\beta x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\mapsto e^{\alpha x} \sin(\beta x) \end{eqnarray*}$ ) dann
$\begin{eqnarray*} y'' + a y' + by = e^{\alpha x}\cos(\beta x)\Big(\alpha^2 - \beta^2 + a \alpha + b \Big) - e^{\alpha x}\sin(\beta x)\Big(2\alpha \beta + a \beta \Big) \end{eqnarray*}$ .

Damit das für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konstant 0 ist, folgt $\begin{eqnarray*} \alpha^2 - \beta^2 + a \alpha + b = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2\alpha \beta + a \beta = 0 \end{eqnarray*}$ . Umstellen ergibt die Lösungen.

16.01.2024, 14:07

MMchen60

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RE: DGL 2. Ordnung

Zitat:

Original von IfindU
Da die Gleichung linear in $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist, ignorier ichs mal (ist weniger Schreibarbeit).

Hallo und vielen Dank für diese enorme Rechen- und Schreibarbeit.
Es ist aber so, dass das eine Klausuraufgabe Mathematik A Hochschule Karlsruhe ist, die mit der ihr zur Verfügung stehenden Zeit mit Sicherheit nicht diesen aufwendigen Lösungsweg meint. Habe das zwischenzeitlich etwas mehr recherchiert und der Lösungsansatz, der da gemeint ist, ist im Anhang zu finden.
Liebe Grüße MM

16.01.2024, 14:34

IfindU

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RE: DGL 2. Ordnung
Von der Lösung ausgehend vermute ich, dass "meine" Rechnung einfach in der Vorlesung diskutiert wurde und man die Beziehung zwischen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ als Formel in der Klausur parat hatte.

16.01.2024, 15:33

HAL 9000

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Die Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist ja ein Klassiker schlechthin mit unzähligen Anwendungsmöglichkeiten, u.a. in Mechanik und Elektronik.

Das gilt dann auch für deren Lösungen, die bei bestimmten Parameterkonstellationen dann solche gedämpften Schwingungen sind, wie wir sie im abgebildeten Graphen eine sehen.

Zu den DGL-Lösungen $\begin{eqnarray*} e^{\alpha t}\sin(\beta t + \varphi) \end{eqnarray*}$ gehören dann die Lösungen $\begin{eqnarray*} \lambda=\alpha\pm \beta i \end{eqnarray*}$ der charakteristischen Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda^2 + a\lambda + b = 0 \end{eqnarray*}$ , über Vieta besteht der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} a = -\lambda_1-\lambda_2 = -2\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = \lambda_1\cdot \lambda_2 = \alpha^2+\beta^2 \end{eqnarray*}$ . Wenn man also $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ mehr oder weniger einfach aus dem Graph ablesen kann, hat man damit dann auch $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ .

16.01.2024, 15:35

MMchen60

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RE: DGL 2. Ordnung

Zitat:

Original von IfindU
Von der Lösung ausgehend vermute ich, dass "meine" Rechnung einfach in der Vorlesung diskutiert wurde und man die Beziehung zwischen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ als Formel in der Klausur parat hatte.

Hallo, danke nein, deine Rechnung wurde in der Vorlesung so nicht diskutiert. Es wird da einfach nur der Zusammenhang zwischen pq-Formel und der komplexen Lösung einer DGL 2. Ordnung besprochen. Und diesen Zusammenhang; da hast du Recht - muss man in der Klausur wissen.
Übrigens, auch Papula macht das nicht so, sondern beweist lediglich den Zusmmenhang. Im Papula habe ich auch die Vorgehensweise für diesen Fall entdeckt.
Besten Dank nochmal.

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