Normalverteilung Spritverbrauch

13.01.2024, 20:55

Jermaine

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Normalverteilung Spritverbrauch

Meine Frage:
Der Spritverbrauch eines Pkw (in Liter/100 km) im Stadtverkehr ist normalverteilt mit ?= 8,2 und ? =1,8. In welchem Intervall mit Mittelpunkt ? liegt der Spritverbrauch mit der angegebenen Wahrscheinlichkeit 50%?

Meine Ideen:
Also für die Grenzen habe ich 8,2 -1,8 bzw. 8,2+1,8 gerechnet. Damit kam für die Normalverteilung ca. 0,6827 raus. Was mache ich jetzt mit den 50% damit ich die Intervalle berechnen kann?

Leider hatten wir das noch nicht mit der Standardnormalverteilungstabelle... Gibt es dazu vielleicht auch eine Formel?

13.01.2024, 21:32

klauss

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RE: Normalverteilung
Also $\begin{eqnarray*} \mu=8,2 \end{eqnarray*}$ dürfte klar sein. Klarzustellen ist vorab noch, ob $\begin{eqnarray*} \sigma =1,8 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sigma^{2} =1,8 \end{eqnarray*}$ .

Für eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die den Spritverbrauch des Pkw beschreibt, soll dann gelten:
$\begin{eqnarray*} P(\mu -c\leq X \leq \mu +c)=0,5 \end{eqnarray*}$

Rechnerisch:
$\begin{eqnarray*} F_{N}\left(\frac{\mu +c - \mu}{\sigma} \right) -F_{N}\left(\frac{\mu -c -\mu}{\sigma} \right) =0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{N} \end{eqnarray*}$ ist hier die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

13.01.2024, 21:55

Jermaine

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RE: Normalverteilung
Ok dankeschön, aber was bedeutet nun der Parameter c?

13.01.2024, 22:01

fruitloop

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Zitat:

Leider hatten wir das noch nicht mit der Standardnormalverteilungstabelle

Heutzutage nutzt man in der Schule meines Wissens ja eigentlich nur noch selten Tabellen sondern eher technische Hilfsmittel wie einen GTR oder ein CAS.
Falls das auch bei euch so ist, dann probiere entweder etwas rum, bis du an die nötigen Grenzen kommst oder nutze eine entsprechende Funktion wie einen Solver (Gleichungslöser) oder eine Wertetabelle.

13.01.2024, 22:08

klauss

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RE: Normalverteilung Spritverbrauch
$\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist eben die halbe Breite des 50%-Intervalls mit dem Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ , die Du berechnen sollst.
Kannst Du mit meiner Berechnungs-Gleichung etwas anfangen?

14.01.2024, 09:52

Jermaine

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RE: Normalverteilung Spritverbrauch
Davon habe ich leider noch nie was gehört...

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14.01.2024, 11:01

Steffen Bühler

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RE: Normalverteilung Spritverbrauch
Wenn Du weder Tabelle noch Formel noch Taschenrechnerfunktionen kennst, habt Ihr das wahrscheinlich noch nicht durchgenommen. In diesem Fall brauchst Du diese Aufgabe natürlich nicht zu lösen.

Irgendwie hast Du aber ja die 68% berechnet, auch wenn Du uns nicht verrätst, womit.

Dann verringere, wie empfohlen, die 1,8 so lange, bis Du auf 50% kommst.

14.01.2024, 11:10

Jermaine

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RE: Normalverteilung Spritverbrauch
Doch mit dem Taschenrechner könnte ich die 68% lösen mit normalcdf Formel.. ich weiß nur nicht wie man das das Phi(x)=0,75 im Taschenrechner löst..

14.01.2024, 12:15

klauss

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RE: Normalverteilung Spritverbrauch
Die Rechenschritte, um auf
$\begin{eqnarray*} F_{N} \left(\frac{c}{\sigma} \right) =0,75 \end{eqnarray*}$
zu kommen, müßte man freilich zuerst schaffen.
Du brauchst dann an dieser Stelle die Umkehrfunktion und z. B. mein Taschenrechner bietet dafür die "invNormal"-Funktion, wo die Eingaben "area", "mean", "sigma" verlangt werden. Suche also sowas in Deinem TR-Menü.

14.01.2024, 12:33

Jermaine

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RE: Normalverteilung Spritverbrauch
Die habe ich gefunden, was gibt man denn für "area" ein? und für "mean" kommt wahrscheinlich 8,2 rein und "sigma" 1,8 oder?

14.01.2024, 12:58

klauss

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RE: Normalverteilung Spritverbrauch
Ja, und wenn man $\begin{eqnarray*} F_{N} \left(\frac{c}{\sigma} \right) =0,75 \end{eqnarray*}$ hat, ist "area" die Wahrscheinlichkeitsfläche unter der Dichtefunktion von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \frac{c}{\sigma} \end{eqnarray*}$ , also eben 0,75.

14.01.2024, 13:01

mYthos

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[attach]57465[/attach]

Mit P(X<=d)=0.25 kommst du auf die untere Grenze d = rd. 7.
Das müsste der GTR (mit "invnorm..()" o.ä.) ebenfalls wie GeoGebra so berechnen.
Mit der Differenz zu 8.2 geht es weiter .. (wie?)

mY+

14.01.2024, 13:33

Jermaine

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RE: Normalverteilung Spritverbrauch
Ok, die 0,75 ist dann für die obere Grenze = 9,414 und 0,25 für die untere Grenze= 6,98. Aber was gebe ich beispielweise für mean ein wenn ich das für 90% oder 99% berechnen muss?

14.01.2024, 13:56

klauss

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mean ist immer der Erwartungswert, das hat mit der Wahrscheinlichkeit erstmal nichts zu tun. Du meinst wohl area.
Allerdings möchte ich jetzt nicht ein scheinbar allgemeingültiges Kochrezept für einen diffusen abgewandelten Fall abgeben. Da müßte man schon genau wissen, wie die Aufgabe lautet.
Das Intervall für diese Aufgabe hast Du jetzt richtig angegeben.

14.01.2024, 14:02

Jermaine

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Sorry, ja genau ich meine area. Ist genau die selbe Aufgabenstellung wie die, die ich oben beschrieben habe aber ich suche das Intervall mit Mittelpunkt µ in der der Spritverbrauch mit der angegebenen Wahrscheinlichkeit 90% liegt?

14.01.2024, 14:12

klauss

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RE: Normalverteilung Spritverbrauch
Nun ja, dann ist der Rechenweg natürlich gleich und am Ende bleibt
$\begin{eqnarray*} F_{N} \left(\frac{c}{\sigma} \right) =~... ? \end{eqnarray*}$
Die rechte Seite ist area. Kannst Du das selbst ausrechnen?

14.01.2024, 14:19

Jermaine

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RE: Normalverteilung Spritverbrauch
Da bin ich mir nicht sicher aber ist das für die obere Grenze 0,95 und für die untere 0,45...
Bin mir noch unsicher wie ich die untere Grenze ausrechne, wenn ich ehrlich bin

14.01.2024, 14:29

klauss

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RE: Normalverteilung Spritverbrauch
Also wenn Du eine Formel ohne Gewähr für diese spezielle Fragestellung brauchst (symmetrisches Intervall um $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ):
$\begin{eqnarray*} F_{N} \left(\frac{c}{\sigma} \right) =\frac{p+1}{2} \end{eqnarray*}$

14.01.2024, 19:34

mYthos

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Zitat:

Original von Jermaine
... ich suche das Intervall mit Mittelpunkt µ in der der Spritverbrauch mit der angegebenen Wahrscheinlichkeit 90% liegt?

Dann liegen im halben Intervall links vom Erwartungswert (8.2) 45 % der Zufallsvariablen.
Somit suchst du - für die linke Grenze - jenes d, für das gilt:
P(X<=d) = 0.05 (d.s. 5% als Rest von 50% - 45%), wieder mit INVNORM...
Genau so, wie bei deiner vorigen Aufgabe. Die halbe Intervallbreite ist dann c = 8,2 - d und die rechte Grenze daher 8.2 + c

Ich finde, es geht auch gut ohne spezielle Formel und nur mit etwas Hirn einschalten Big Laugh

Big Laugh

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mY+

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