Identität zum Spektrum

13.01.2024, 23:08	Cauchyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Identität zum Spektrum Hallo! Folgende Frage/Aufgabe hätte ich: Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} C^{} \end{eqnarray}$ -Algebra und $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ selbst-adjungiert. Zeige, dass gilt $\begin{eqnarray} \lVert (x-\lambda)^{-1}\rVert = \frac{1}{dist(\lambda, \sigma(x))} \end{eqnarray}$ (wobei wir $\begin{eqnarray} dist(x,M) \end{eqnarray}$ definiert haben als $\begin{eqnarray} dist(x,M) = \text{inf}_{y \in M}\lVert x - y\rVert \end{eqnarray}$ ). Es gilt die Konvention, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{0} = \infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lVert (x - \lambda)^{-1}\rVert = \infty \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} x - \lambda \end{eqnarray}$ invertierbar ist. $\begin{eqnarray} \sigma(x) \end{eqnarray}$ nennen wir das $\begin{eqnarray} \textbf{Spektrum} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ und es enthält all jene Elemente $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ , für die gilt, dass $\begin{eqnarray} x - \lambda \end{eqnarray}$ nicht invertierbar ist. Falls $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ selbst-adjungiert ist (wie in unserem Beispiel), dann gilt sogar $\begin{eqnarray} \sigma(x) \subset \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Mein bisheriger Lösungsansatz: Wir haben $\begin{eqnarray} \text{dist}(\lambda, \sigma(x)) = \text{inf}_{\mu \in \sigma(x)} \lVert \lambda - \mu\rVert \Leftrightarrow \frac{1}{\text{dist}(\lambda, \sigma(x))} = \frac{1}{\text{inf}_{\mu \in \sigma(x)}\lVert \lambda - \mu\rVert} = \text{sup}_{\mu \in \sigma(x)}\frac{1}{\lVert \lambda - \mu\rVert} = \text{sup}_{\mu \in \sigma(x)} \lVert (\lambda - \mu)^{-1}\rVert \end{eqnarray}$ Hier weiß ich jetzt aber leider nicht mehr, wie ich weiterverfahren soll. Hat hier vielleicht jemand eine Idee, wie ich den Beweis hier zu Ende bringen könnte? Oder stimmt mein Ansatz vielleicht sogar gar nicht? Und wo benutze ich hier, dass $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray*}$ selbst-adjungiert ist? In meinem Lösungsansatz benutze ich das bislang gar nicht und ich weiß auch nicht, was ich damit anfangen soll.

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