Rekursive Folgen und Fixpunkte

14.01.2024, 21:59	Pinahoo2006	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folgen und Fixpunkte Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} f:[a, b] \rightarrow[a, b] \end{eqnarray}$ eine differenzierbare Funktion mit $\begin{eqnarray} \left\|f^{\prime}(x)\right\| \leq q<1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in[a, b] \end{eqnarray}$ . Zeige für die rekursiv definierte Folge $\begin{eqnarray} x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n \in \mathbb{N} \cup\{0\}, x_{0} \in[a, b] \end{eqnarray}$ beliebig, die Folgendes: a) Die Folge $\begin{eqnarray} \left(x_{n}\right) \end{eqnarray}$ ist konvergent. b) Für den Grenzwert $\begin{eqnarray} x^{} \end{eqnarray}$ der Folge $\begin{eqnarray} \left(x_{n}\right) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} x^{}=f\left(x^{}\right) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} x^{} \end{eqnarray}$ ist ein Fixpunkt der Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . c) Die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ besitzt genau einen Fixpunkt. d) Es gilt die Fehlerabschätzung: $\begin{eqnarray} \left\|x_{n}-x^{}\right\| \leq \frac{q^{n}}{1-q} \cdot\left\|x_{1}-x_{0}\right\| \end{eqnarray}$ . Was kann über die Konvergenzgeschwindigkeit gesagt werden? Meine Ideen:* Mir fehlen leider Ansatz und Herangehensweise. Vielen Dank im Voraus für alle Lösungshinweise.
15.01.2024, 07:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir scheint , dass hier ein Beispiel für den Banachschen Fixpunktsatz vorliegt.
15.01.2024, 07:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist dir im Rahmen deiner Vorlesung zufällig der Banachsche Fixpunktsatz begegnet? Das wäre hier ein hervorragendes Anwendungsbeispiel, in Verbindung zum Mittelwertsatz der Differentialrechnung: $\begin{eqnarray} x_{n+1} - x_n = f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right) \stackrel{!}{=} f'\left(\xi_n\right)\cdot \left( x_n - x_{n-1}\right) \end{eqnarray}$ mit einem $\begin{eqnarray} \xi_n \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} x_{n-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ .

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