Dreiecksberechnung: Verschiedene Ergebnisse mit Sin- und Cos-Satz

15.01.2024, 12:06

Trigo3

Dreiecksberechnung: Verschiedene Ergebnisse mit Sin- und Cos-Satz

Ich soll bei folgenden angaben die restlichen Winkel und Seiten bestimmen

Geg: b=8,1cm, c=5,3cm, Alpha=36,4°

Mit kosinussatz kommt dann für a=4,959 heraus.

Dann wollte ich Beta ausrechnen hier bekomme ich mit kosinussatz und mit sinussatz unterschiedliche Ergebnisse

Bei kosinussatz
Cos Beta = -(b^2-a^2-c^2)/(2ac). ==> Beta = 104,23

Bei Sinussatz

Sin Beta / b. = sin Alpha / a. Umgestellt nach Beta
Beta = arc sin (sin 36,4 * 8,1. / 4,595) = 75,76

Wo liegt mein Fehler?

15.01.2024, 12:46

G150124

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RE: Warum kommt mit Sinussatz und Cosinussatz was anderes heraus?
$\begin{eqnarray*} b^2 = a^2+c^2- 2ac*cos (beta) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(beta)= (a^2+c^2-b^2)/(2ac) \end{eqnarray*}$

15.01.2024, 13:47

winkler

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Zitat:

Wo liegt mein Fehler?

In deinen Rechnungen liegt kein Fehler vor (bis auf den ein oder anderen Abschreib- oder Rundungsfehler).

Der springende Punkt ist, dass man beim Kosinussatz die Seite c mit einbezieht und die entsprechende Dreieckskonstruktion gemäß Kongruenzsatz SWS eindeutig wird.

Beim Sinussatz hingegen beziehst du die geforderte Seitenlänge von c nicht mit ein, was zwei mögliche Dreiecke zur Folge hat (siehe meine angehängte Konstruktion).

Du erhältst mit deiner Rechnung also den spitzen Winkel $\begin{eqnarray*} \beta_2 \end{eqnarray*}$ , der jedoch nicht zu der geforderten Seitenlänge für c passt.
Schönerweise ist das Dreieck durch die Punkte B1,B2 und C gleichschenklig, wodurch der stumpfe Winkel $\begin{eqnarray*} \beta_1 \end{eqnarray*}$ via Nebenwinkelzusammenhang plausibel wird.

15.01.2024, 14:56

HAL 9000

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Ergänzend sei folgende grundsätzliche Regel bei Winkelberechnungen in einem EINDEUTIG bestimmten Dreieck hinzuigefügt:

Für den Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, nicht den Sinussatz verwenden! D.h. entweder den Kosinussatz nehmen oder (wenn möglich) zunächst einen anderen Innenwinkel vorher berechnen.

Im vorliegenden Fall wäre es z.B. möglich, nach der Berechnung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ zunächst $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ mit dem Sinussatz zu berechnen, und anschließend über $\begin{eqnarray*} \beta = 180^{\circ}-\alpha-\gamma \end{eqnarray*}$ schließlich auch $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ .

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Wenn natürlich tatsächlich die nicht-eindeutige Situation sSw vorliegt, etwa wenn im vorliegenden Fall $\begin{eqnarray*} b,c,\gamma \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b>c \end{eqnarray*}$ gegeben wären, dann bleibt nichts weiter übrig als den Sinussatz zu nehmen. Man hat dann eben zwei Lösungsdreiecke, eins mit $\begin{eqnarray*} \beta_1 = \arcsin\left(\frac{b}{c}\sin(\gamma)\right) \end{eqnarray*}$ und das andere mit $\begin{eqnarray*} \beta_2 = 180^{\circ}-\beta_1 \end{eqnarray*}$ .

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