Cosinusfunktion

17.01.2024, 22:42

benni123456789

Cosinusfunktion

Meine Frage:
Wie kann ich zeigen, dass cos(pi/3)=0,5, indem nur die Additionstheoreme und die Werte für cos(pi), cos(0) und cos(pi/2) verwendet werden dürfen.

Meine Ideen:
Hab leider überhaupt keine Idee

17.01.2024, 23:45

schnittlauch

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Ich würde sagen das macht keinen Sinn.
Wenn man die Additionstheoreme benutzt, dann benötigt man auch Sinusterme.
Wenn man diese nicht benutzen darf, dann erübrigen sich die weiteren Ausführungen.

Der ansonsten vermutlich denkbar einfachste, übliche Ansatz, um $\begin{eqnarray*} cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, wäre das Nutzen eines gleichseitigen Dreiecks mit Ankathete 0,5a und Hypotenuse a.

18.01.2024, 01:52

schnittlauch

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Falls man noch sin²(x)+cos²(x)=1 nutzen darf, dann ist das vielleicht ein gangbarer Weg:

$\begin{eqnarray*} cos(\frac{\pi}{3})=cos(2 \cdot \frac{\pi}{6})=2 \cdot cos^2(\frac{\pi}{6})-1=2 \cdot cos^2(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})-1=2 \cdot sin^2(\frac{\pi}{2}) \cdot sin^2(\frac{\pi}{3})-1=2 \cdot (1-cos^2(\frac{\pi}{2})) \cdot (1-cos^2(\frac{\pi}{3}))-1=1-2cos^2(\frac{\pi}{3}) \end{eqnarray*}$

Etwas umgeformt wird das zur quadratischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} cos^2(\frac{\pi}{3})+\frac{1}{2} \cdot cos(\frac{\pi}{3})-\frac{1}{2}=0 \end{eqnarray*}$

und faktorisiert dann zu

$\begin{eqnarray*} (cos(\frac{\pi}{3})+1) \cdot (cos(\frac{\pi}{3})-\frac{1}{2})=0 \end{eqnarray*}$

18.01.2024, 07:01

Leopold

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Sechste Einheitswurzeln in der Gaußschen Zahlenebene:

$\begin{align*} z^6 - 1 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( z^3 - 1 \right) \left( z^3 + 1 \right) = 0 \end{align*}$

Wir suchen die sechste Einheitswurzel im I. offenen Quadranten. Diese ist keine dritte Einheitswurzel, muß also eine Nullstelle des zweiten Faktors oben sein:

$\begin{align*} z^3 + 1 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( z+1 \right) \left( z^2 - z + 1 \right) = 0 \end{align*}$

Die gesuchte Einheitswurzel ist die Nullstelle des quadratischen Faktors mit positivem Real- und Imaginärteil:

$\begin{align*} z^2 - z + 1 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( z - \frac{1}{2} \right)^2 = - \frac{3}{4} \ \ \Leftrightarrow \ \ z = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{i} \end{align*}$

Es folgt:

$\begin{align*} \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \, , \ \ \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$

18.01.2024, 08:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von schnittlauch
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot cos^2(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})-1=2 \cdot {\color{red}sin^2(\frac{\pi}{2})} \cdot sin^2(\frac{\pi}{3})-1 \end{eqnarray*}$

Die Umformung ist zwar richtig, allerdings könnte man anhand dieser Darlegung auf falsche Gedanken kommen, was die Begründung betrifft:

Jedenfalls gilt $\begin{eqnarray*} \cos^2(a-b) \stackrel{!}{=} \sin^2(a)\sin^2(b) \end{eqnarray*}$ zwar für $\begin{eqnarray*} a=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , aber sonst i.a. nicht. Und für $\begin{eqnarray*} a=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ kann man auch gleich $\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\pi}{2}-b\right)=\sin(b) \end{eqnarray*}$ nutzen und benötigt dann keinen Term $\begin{eqnarray*} \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Dann wäre allenfalls die Frage, ob man bei diesen "strengen" Regeln hier überhaupt $\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\pi}{2}-b\right)=\sin(b) \end{eqnarray*}$ nutzen darf oder ob man das auch erst noch mit Additionstheoremen nachweisen muss (was irgendwie die Kausalität komplett umkehrt). Augenzwinkern

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Wenn man die Sache sauber aufziehen will, dann muss man sich von dem Wissen über $\begin{eqnarray*} \cos,\sin \end{eqnarray*}$ lösen und die Sache so aufziehen: Es seien $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ zwei reelle Funktionen mit

$\begin{eqnarray*} f(x\pm y) = f(x)f(y) \mp g(x)g(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x\pm y) = g(x)f(y) \pm f(x)g(y) \end{eqnarray*}$

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} f(0)=1,f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,f(\pi)=-1 \end{eqnarray*}$ gegeben.

Reicht das an Informationen über $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ , um $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{\pi}{3}\right) \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmen zu können? Augenzwinkern

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