Gleichung umstellen

18.01.2024, 14:32

Berti

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Gleichung umstellen

Hallo zusammen,

das N aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} \pm \Delta y= 250*lg\left(\frac{10*\sin(\phi)+10^{1-N}}{10*sin(\phi) } \right) =250*lg\left(1\pm \frac{10^{-N}}{\sin(\phi)} \right) \end{eqnarray*}$

soll einmal für das argument $\begin{eqnarray*} sin(\phi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ umgestellt werden.

N soll hier gelten $\begin{eqnarray*} sin(\phi) \end{eqnarray*}$ intervall $\begin{eqnarray*} \left[0,1-1\right] \end{eqnarray*}$
N soll hier gelten $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ intervall $\begin{eqnarray*} \left[5,74°-90\right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \pm \Delta y \end{eqnarray*}$ =0,1

Danke

18.01.2024, 14:42

Elvis

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N soll umgestellt werden so dass N gilt? Klingt merkwürdig.

18.01.2024, 15:11

Berti

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Gleichung umstellen
Habe mich verschrieben. sollte N für Argument $\begin{eqnarray*} \sin(\phi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ getrennt gelten.

18.01.2024, 18:05

Berti

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Gleichung umstellen
Hallo Elvis,

du hast die Frage überhaupt garnicht verstanden.

18.01.2024, 19:54

Elvis

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Welche Frage ?

18.01.2024, 20:31

Berti

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Gleichung umstellen
Hallo,

die Frage ganz oben. Die Gleichung umgestellt nach N, gilt für $\begin{eqnarray*} sin(\phi) \end{eqnarray*}$ .
ich mochte aber das N auch für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gilt.

z.B $\begin{eqnarray*} \phi= 44,3° \end{eqnarray*}$ in die Gleichung einsetzen,
kommt N=3,19 für $\begin{eqnarray*} sin(44,3)=0,6984 \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet 0-6-9-8-4 hinter dem 0, kann ich die 3 stellen 6-9-8 einstellen die 4. stelle die 4 kann Man nur mit 0,19 also 19% schatzen.

Wie kann ich die Gleichung so umstellen das ich auch für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ das N berechnen kann.
Wenn Man das N für $\begin{eqnarray*} sin(\phi) \end{eqnarray*}$ berechnen kann musste es doch moglich sein auch fur $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ .

N=?? Für $\begin{eqnarray*} \phi =44,3° \end{eqnarray*}$

Gruss

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19.01.2024, 00:48

mYthos

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Das zutreffende Vorzeichen innerhalb des Logarithmus des Klammerausdrucks bestimmt die Existenz des Logarithmus des Endergebnisses.
Es kann nur negativ sein, denn dann ist mit der in dem angegebenen Intervall durchwegs positiven Sinusfunktion als Faktor das Produkt logarithmierbar.

$\begin{eqnarray*} N = - \lg [(10^{\frac 1 {2500}} - 1) \cdot \sin \Phi] \end{eqnarray*}$

Damit wird $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ = 3.19141 bei $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ = 44.3°. Die Probe durch Einsetzen von N in die Ausgangsgleichung bestätigt mit 0.1 dieses Resultat.
------------
Um die Ausgangsgleichung wie verlangt umzuformen, ist zunächst durch 250 zu dividieren und anschließend zu delogarithmieren.
Danach wird $\begin{eqnarray*} 10^{-N} \end{eqnarray*}$ isoliert und die Gleichung wieder logarithmiert.
-N als Logarithmus ist mit den gegebenen Zahlen negativ, somit ist N der negative Logaritmus des Ausdrucks in der eckigen Klammer.

[attach]57477[/attach]

In der Grafik ist die Abhängigkeit N von phi erkenntlich.

mY+

19.01.2024, 08:38

Berti

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Gleichung umstellen
Vielen dank mYthos,

in der Grafik sieht man ja das N gegen $\begin{eqnarray*} sin\left(\phi\right) \end{eqnarray*}$ aufgetragen ist.

Und das A( $\begin{eqnarray*} sin\left(\phi\right) \end{eqnarray*}$ /N) bzw. A(0.698,3.19167) ist.

Wie muss man vorgehen, wenn N nicht bei $\begin{eqnarray*} \phi =44.3° \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} sin\left(44.3°\right) \end{eqnarray*}$ gilt, sondern nur für $\begin{eqnarray*} \phi =44.3° \end{eqnarray*}$ .

So das das der Graph N gegen $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ wird, und A(44.3,N) ist

Das N sollte in dem falle nicht für $\begin{eqnarray*} sin\left(\phi\right) \end{eqnarray*}$ gelten sondern für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ alleine.

19.01.2024, 09:11

Steffen Bühler

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RE: Gleichung umstellen
Nimm den Arkussinus.

19.01.2024, 09:41

Berti

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RE: Gleichung umstellen
Hallo Steffen,

$\begin{eqnarray*} 0,1 =250*lg\left[1+\frac{10^{-N} }{sin(\varphi)} \right] \end{eqnarray*}$

aber wie nehme ich den Arkussin, daran habe ich gedacht.

wie sieht dann $\begin{eqnarray*} N = \end{eqnarray*}$ für Argument $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ aus.
Danke

19.01.2024, 09:44

Steffen Bühler

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Wie es schon da steht:
$\begin{eqnarray*} N = - \lg [(10^{\frac 1 {2500}} - 1) \cdot \sin \varphi] \end{eqnarray*}$

19.01.2024, 10:03

mYthos

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[attach]57478[/attach]

So sieht in diesem Fall die Grafik aus, auf den ersten Blick nicht wesentlich anders, ausgenommen der Definitionsbereich.
Auf der waagrechten Achse ist natürlich das Bogenmaß (!) von phi aufzutragen. Bei 44.3° beträgt es rd. 0.7732.
Die Funktion N(phi) ist (nur) in dem Intervall von 0 bis $\begin{eqnarray*} \frac{\pi} 2 \end{eqnarray*}$ definiert.
------------
Der Unterschied der beiden Betrachtungsweisen ist der, dass einmal das Argument der Funktion sin(phi) ist, das andere Mal nur phi (NICHT im Grad-, sondern im Bogenmaß).

mY+

19.01.2024, 10:10

Berti

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Gleichung umstellen
meinen sie so:

$\begin{eqnarray*} N=-lg\left[arcsin\left(\varphi*\left(10^{\frac{1}{2500} } -1\right) \right) \right] \end{eqnarray*}$

19.01.2024, 10:14

mYthos

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Nein!

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Nimm den Arkussinus.

@Steffen: Jetzt musst du das Missverständnis aufklären Big Laugh

Big Laugh

19.01.2024, 10:17

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

@Steffen: Darauf freue ich mich schon Big Laugh

Big Laugh

19.01.2024, 10:20

Steffen Bühler

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In der Tat nein. smile

smile

Was ich meinte, ist, dass die x-Achse in der ersten Grafik von mYthos die Sinuswerte zeigt. Wenn Du diese in den Arcussinus einsetzen würdest, erhältst Du mYthos' zweite Grafik im Bogenmaß. Geht natürlich auch im Gradmaß:

[attach]57479[/attach]

Ansonsten spricht, wie gesagt, nichts dagegen, in die angegebene Formel mutig den Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ einzusetzen.

19.01.2024, 10:29

mYthos

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@Berti
Vielleicht hilft dir ja schon die letzte Grafik, um dein Problem richtig einzuordnen?

19.01.2024, 12:27

mYthos

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Bogen- vs Gradmaß
@Steffen
Ich würde in einer trigonometrischen Funktion* gerne davon absehen, den Funktionsgraphen mit Argumenten im Gradmaß zu zeichnen.

(*) Diese ist definitionsgemäß für Argumente in Radiant darzustellen.

In praxisbezogenen trigonometrischen Berechnungen (Geodäsie, Astronomie, Vermessungswesen, etc.) ist dies allerdings eine andere Geschichte ...

mY+

19.01.2024, 12:41

Steffen Bühler

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RE: Bogen- vs Gradmaß
Manchmal geht's halt nicht anders. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten gilt das, was ich seit Jahren schreibe.

19.01.2024, 12:52

Berti

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Gleichung umstellen
Vielen dank an euch beide.

ich versuche in moment das ganze durchzukauen was Ihr geschrieben habt.

Danke

19.01.2024, 13:16

mYthos

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
...
Pi ist nicht das Bogenmaß von 180°, Pi ist 180°.
...

Es sträubt sich bei mir, pi direkt mit 180° gleichzusetzen.
Die Definition "Verhältnis Bogen zu Radius] ist klar jene für das Bogenmaß, und diese ist in der Analysis von Bedeutung.
Und ja, demgemäß ist pi der halbe Umfang des Einheitskreises.

Die konstruktive Geometrie (ohne Winkelfunktion) hat davon noch keine Ahnung, da wird einfach der volle Winkel (Kreis) in 360 (400) Teile (Sektoren) geteilt.

Ich würde schon gerne den Focus auf "Bogenmaß" oder wenigstens "Radiant" setzen.

(180° = ) 180 [deg] = pi [rad]

Ist das so zulässig?

mY+

19.01.2024, 13:22

Steffen Bühler

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Ob das nun zulässig ist oder nicht, kann ich nicht entscheiden. Zu Radiant hab ich hier mal meinen Senf gegeben.

19.01.2024, 14:30

Berti

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Gleichung umstellen
Ich versuch mal mein problem zu schildern, wo ich noch verständnis probleme habe.

Fall 1: $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in der $\begin{eqnarray*} sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ Skala mit der Ablesegenauigkeit $\begin{eqnarray*} \pm \Delta y =0,1 mm \end{eqnarray*}$ in Logarithmisch Skalierten Intervall $\begin{eqnarray*} \left[5.74°-90°\right] \end{eqnarray*}$
Der Wert von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ Element $\begin{eqnarray*} \left[5.74°-90°\right] \end{eqnarray*}$ befindet sich in $\begin{eqnarray*} y=250 mm*log(10*sin(\varphi)) \end{eqnarray*}$ Entfernung.

1. Gleichung: $\begin{eqnarray*} \pm \Delta y = 250*lg\left(\frac{10*sin(\varphi)+10^{1-N} }{10*sin(\varphi)} \right) =\pm \Delta y = 250*lg\left(1\pm \frac{10^{-N} }{sin(\varphi)} \right) \end{eqnarray*}$
2. Gleichung: $\begin{eqnarray*} N=-lg\left[\left(10^{\frac{0,1}{250} }-1 \right)*sin(\varphi) \right] \end{eqnarray*}$

z.B $\begin{eqnarray*} \varphi = 44.3° \end{eqnarray*}$ Einstellung in $\begin{eqnarray*} sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ skala mit 0,1 % Genauigkeit.
$\begin{eqnarray*} sin(\varphi) = 0,6984 \end{eqnarray*}$ ablesung in x-Skala
Somit N= 3,1914
Das N= 3,1914 bedeutet bei sin(44.3)= 0,6984 welches ich in x-Skala ablese,das man ab 0, die 3 Stellen 6-9-8 ablesen kann, aber die 4. Stelle den Wert 4 nur mit 0,19 bzw. 19 % Genauigkeit ablesen kann.

Fall 2: Für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ müsste man getrennt das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ auch rechnen können, weil ich Stelle ja mein $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in der $\begin{eqnarray*} sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ Skala mit der Ablesegenauigkeit $\begin{eqnarray*} \pm 0,1 % \end{eqnarray*}$ ein.
Da ich den $\begin{eqnarray*} sin(\varphi) =44,3° \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} \pm 0,1 % \end{eqnarray*}$ genauigkeit einstellen kann, kann der wert ja entweder $\begin{eqnarray*} 4-4-2-5 \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} 4-4-3-5 \end{eqnarray*}$ sein. Daher Möchte ich das N für das Argument für das $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bestimmen. Das N würde mir dann sagen, wieviel Stellen ich dann eingestellt habe. Ist dies Möglich

PS: $\begin{eqnarray*} (10^{\pm 0,0004}-1)*100=\pm 0,1 % \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \pm 0,1 mm \end{eqnarray*}$ bewirkt änderung für $\begin{eqnarray*} \varphi =44,3° \end{eqnarray*}$ = -+0,1% verschiebung.

Vielen Dank

19.01.2024, 14:58

mYthos

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Erstens:
Du kannst 44,3° nicht mit 0,1 mm Genauigkeit einstellen, denn das eine sind Grad, das andere mm.
Also ist mal auf die Gleichheiten der Einheiten zu achten.
Auf deiner Skala ist festzulegen, wieviel mm beispielsweise 10° entsprechen.
Besser und auch üblich ist es daher, die Toleranzen in % anzugeben.

Zweitens:
Der Ausdruck N für das Argument $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ wurde dir bereits angegeben! Dieser gilt universell.
Vergleiche dazu die beiden Graphen!

Alternativ kannst du für die Skala anstatt $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in Grad auch $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in Radiant nehmen, also anstatt 44,3° den Wert 0.77318 (Umrechnungsfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{180} \end{eqnarray*}$ ).
Dies zeigt ebenso direkt die Abhängigkeit N von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$
Falls du nur 3 Dezimalstellen zu Verfügung hast, ist entsprechend zu runden bzw. die vorgegebene Toleranz einzuhalten.

Hinweis:
Die in deinem Anhang gezeigten Skalen sind missverständlich.
Sie stimmen nur dann, wenn in der oberen nur $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ (nicht $\begin{eqnarray*} \sin \varphi \end{eqnarray*}$ ) und in der unteren anstatt x als Argument $\begin{eqnarray*} \sin\varphi \end{eqnarray*}$ eingesetzt wird.
Und: Du wirst sicher auch eine Skala für N benötigen. N reicht von $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ bis etwa 3.036 im vorgegebenen Intervall.

mY+

19.01.2024, 16:02

Berti

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Gleichung umstellen
habe für Fall 2: Änderung hinzufegügt.

19.01.2024, 17:22

Berti

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RE: Gleichung umstellen
1. Gleichung: $\begin{eqnarray*} \pm \Delta y = 250*lg\left(\frac{10* arcsin(sin(\varphi)*10^{\pm 0.0004})+10^{1-N} }{10* arcsin(sin(\varphi)*10^{\pm 0.0004} )} \right) =\pm \Delta y = 250*lg\left(1\pm \frac{10^{-N} }{ arcsin(sin(\varphi)*10^{\pm 0.0004} )} \right) \end{eqnarray*}$

2. Gleichung: $\begin{eqnarray*} N=-lg\left[\left(10^{\pm \frac{0,1}{250} }-1 \right)*arcsin\left((sin(\varphi)*10^{\pm 0,0004 }\right) \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} arcsin(sin(44,3)*10^{\pm 0.0004})=44,25°-44,35° \end{eqnarray*}$

19.01.2024, 17:36

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Essentielle Korrekturen im selben Beitrag bitte nicht nach einer Antwort anbringen. sondern statt dessen in einem neuen Beitrag posten.
Du kannst ja dann copy 'n' paste verwenden.
Ansonsten geht der zeitliche Zusammenhang verloren.

Zum Fall 2:
Das Ganze dürfte in das Gebiet der Fehlerrechnung hineingehen (Fehler-Fortpflanzungsgesetz).
Generell wirkt sich bei 2 Variablen eine relative Änderung einer Variablen nicht im gleichen Maße auf die andere Variable aus.
Ich nehme an, diese relativen Änderungen willst du berechnen.

Zum 2. Post: Es gilt: $\begin{eqnarray*} \arcsin (\sin \varphi) = \varphi \end{eqnarray*}$ (arcsin ist die Umkehrfunktion, die den Winkel aus dem Sinuswert liefert)
Allerdings betrifft das jetzt NICHT 44,3°, sondern den Radiant 0.77318, welcher dann um +/- 0.00092 schwanken kann.
Für den Winkel im Gradmaß bedeutet das dann eine Schwankungsbreite von (nur) +/-0.04° (!)

mY+

19.01.2024, 18:18

klauss

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Zitat:

Original von mYthos

Zitat:

Original von Steffen Bühler
...
Pi ist nicht das Bogenmaß von 180°, Pi ist 180°.
...

Es sträubt sich bei mir, pi direkt mit 180° gleichzusetzen.

Hierzu wurde ich auch einmal an dieser Stelle belehrt, weshalb ich gern verlinke, nur um zu zeigen, dass ich mir solche Feinheiten auch zu Herzen nehme.

19.01.2024, 18:36

Berti

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Gleichung umstellen
$\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ = 44,3°
$\begin{eqnarray*} sin \varphi \end{eqnarray*}$ =0,6984

ich nehme den Rad: 0,6984 * $\begin{eqnarray*} 10^{\pm 0.0004}) \end{eqnarray*}$ = [0,6978-0,6990]
daraus in arcsin(0,6978)=44,25° und arcsin(0,6990)=44,35°

daher $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} arcsin(sin(44,3)*10^{\pm 0.0004})=44,25°-44,35° \end{eqnarray*}$

19.01.2024, 19:15

Berti

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RE: Gleichung umstellen
1. Gleichung: $\begin{eqnarray*} =\pm \Delta y = 250*lg\left(1\pm \frac{10^{-N} }{ \left( sin(\varphi)*10^{\pm 0,0004 }\right) }\right) \end{eqnarray*}$

2. Gleichung: $\begin{eqnarray*} N=-lg\left[\left(10^{\pm \frac{0,1}{250} }-1 \right)* \left( sin(\varphi)*10^{\pm 0,0004 } \right) \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} arcsin(sin(44,3)*10^{\pm 0.0004})=44,25°-44,35° \end{eqnarray*}$

so müsste es sein.

19.01.2024, 20:49

mYthos

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Ja, so ist es zutreffend!
Ich habe - bei genauerer Rechnung - ein Intervall von 44,26° bis 44,34°

mY+

20.01.2024, 19:21

Berti

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Gleichung umstellen
$\begin{eqnarray*} 0{,}1 = 250\cdot \lg\left(\frac{x+10^{1-N}}{x}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10^{0{,}0004} = 1 + \frac{10^{1-N}}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(10^{0{,}0004}-1\right)\cdot x = 10^{1-N} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N = 1-\lg\left(10^{0{,}0004}-1\right) - \lg(x) \end{eqnarray*}$

ist die umstellung so richtig, habe leider kein Program dafur.

21.01.2024, 01:34

mYthos

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Ja, stimmt so weit.
Noch vereinfachen ist möglich zu:

$\begin{eqnarray*} N = 4,03552 - \lg x \ \leftrightarrow \text{ (oder) } N = \lg \frac {10852,363}{x} \end{eqnarray*}$

mY+

21.01.2024, 15:38

Berti

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$\begin{eqnarray*} 0{,}1 = 250\cdot \lg\left(\frac{x+10^{1-N}}{x}\right) \end{eqnarray*}$

kann man diese Gleichung Universal fur:

$\begin{eqnarray*} \sin(x), \cos(x), \tan(x), x, \sqrt{x}, x^{2}, x^{3}, \ln(x) \end{eqnarray*}$ benutzen.

z.b fur $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ kann man den N berechnen, aber isoliert fur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ nicht, warum ist das nicht moglich

21.01.2024, 19:02

mYthos

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Je nachdem, welches Argument anstatt x verwendet wird, wird sich N anders gestalten.
Auch der Definitionsbereich für den Graphen muss angepasst werden und auch die Graphen sehen dann alle verschieden aus.

Warum sollte x anstatt sin(x) nicht möglich sein?
Anderenfalls verstehe ich deine Frage nicht und du solltest diese näher erläutern!

mY+

21.01.2024, 19:21

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \pm \Delta y = 250*lg\left(\frac{10*sin(\varphi)+10^{1-N} }{10*sin(\varphi)} \right) =\pm \Delta y = 250*lg\left(1\pm \frac{10^{-N} }{sin(\varphi)} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N=-lg\left[\left(10^{\frac{0,1}{250} }-1 \right)*sin(\varphi) \right] \end{eqnarray*}$

N fur $\begin{eqnarray*} sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\varphi) \end{eqnarray*}$ getrennt.

N für Definitionsbereich für $\begin{eqnarray*} (\varphi) \end{eqnarray*}$ = [5.74° -90°]
N für Definitionsbereich für $\begin{eqnarray*} sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ = [0.1 -1]

21.01.2024, 20:27

mYthos

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Das hatten wir doch schon!
Die Formel (für N) ist für beide Varianten gleich. Darin wird phi entweder im Gradmaß (deg) oder im Bogenmaß (rad) eingesetzt.
In keinem Fall kann sin, cos, tan, ... durch phi alleine ersetzt werden, wenn du das gemeint hast.
Das sind alles Funktionen, deren Argument eben phi ist.

mY+

21.01.2024, 20:46

Berti

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Gleichung umstellen
Konnen Sie mir bitte mit einem Bsp. für $\begin{eqnarray*} sin(\varphi) =45° \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ erklaren, vielleicht verstehe ich das besser. wie setze ich das pi ein fur rad und DEG.

21.01.2024, 21:39

Berti

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RE: Gleichung umstellen
$\begin{eqnarray*} 45°=\frac{\pi}{4} =0.7854 bogenmass (rad) \end{eqnarray*}$

Wo setze ich das ein.

21.01.2024, 22:13

Berti

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RE: Gleichung umstellen
Was setze ich wo in die Gleichung, damit ich zum schluss das N fur $\begin{eqnarray*} \varphi =45° \end{eqnarray*}$ habe

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