Gleichung umstellen - Seite 2

21.01.2024, 22:27

Berti

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Gleichung umstellen

Zitat:

Die Formel (für N) ist für beide Varianten gleich. Darin wird phi entweder im Gradmaß (deg) oder im Bogenmaß (rad) eingesetzt.
In keinem Fall kann sin, cos, tan, ... durch phi alleine ersetzt werden, wenn du das gemeint hast.
Das sind alles Funktionen, deren Argument eben phi ist.

Edit (mY+): Zitat-Tags eingefügt.

Genau das verstehe ich nicht. Wenn sie das ganze mal mit dem Bsp. $\begin{eqnarray*} \varphi=45° \end{eqnarray*}$ zeigen, durch Rechnung, dann verstehe ich was Sie meinen.

22.01.2024, 01:54

mYthos

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[attach]57490[/attach]
(KlickMich)

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} N=-\lg\left[\left(10^{\frac{0,1}{250} }-1 \right) \cdot\sin(\varphi) \right] \end{eqnarray*}$

Zitat:

N für Definitionsbereich für $\begin{eqnarray*} (\varphi) \end{eqnarray*}$ = [5.74° -90°]
N für Definitionsbereich für $\begin{eqnarray*} sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ = [0.1 -1]

Beide Bereiche sind - hinsichtlich der Sinusfunktion - ident!

Im Technologieeinsatz (GTR, CAS: Excel, Derive, GeoGebra, ...) muss auf die jeweiligen Einstellungen bzw. die entsprechende Eingabe-Syntax geachtet werden.
Der Winkel wird entweder als 45 (manchmal auch 45°) oder als 0.7854 eingegeben.
Denn es ist 45*pi/180 = 0.7854 (Umrechnung DEG in RAD). Manche TR haben dafür auch eine eingebaute Funktion (einen eigenen Befehl).

GTR:
sin(45): Der GTR steht auf DEG
sin(0.7854): Der GTR steht auf RAD

GeoGebra: Man schreibt entweder sin(45°) oder sin(0.7854), beide Male wird 0.70711 ausgegeben.

Excel:
Excel erwartet prinzipiell die Eingabe des Winkels im Bogenmaß (RAD).
Daher führt =sin(45) zu dem Funktionswert von 45 rad (!), der hier absolut nicht erwünscht ist!
=sin(45°) erzeugt einen Fehler!
Excel kennt jedoch die Befehle BOGENMASS und GRAD. Der Sinus von 45° wird hiermit so berechnet:=SIN(BOGENMASS(45))
Alternativ ist =sin(45*pi()/180) ebenfalls eine richtige Eingabe.

[attach]57489[/attach]

In DERIVE wird zuerst in den globalen Einstellungen das Winkelformat festgelegt.
----------------

Conclusio:

$\begin{eqnarray*} N(0.7854)=-\lg\left[\left(10^{\frac{0,1}{250} }-1 \right) \cdot \sin(0.7854) \right] = 3.18604 \end{eqnarray*}$ (auf welchem Weg auch immer)

Übrigens, wir duzen uns hier im Forum! Ich habe kein Problem damit Big Laugh

Big Laugh

Gr mY+

22.01.2024, 08:11

Berti

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Gleichung umstellen
Vielen dank mYthos,

für die Detailierte Antwort, hat mir sehr geholfen, mit einem Bsp. verstehe manches viel besser. smile

smile

22.01.2024, 15:47

Berti

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RE: Gleichung umstellen
Hallo mYthos,

da ist noch was zu Ergänzen. Angenommen $\begin{eqnarray*} \varphi= 45° =0,7854 \end{eqnarray*}$ hat immer einen Fehler von $\begin{eqnarray*} \pm 0,1 % \end{eqnarray*}$ bei der Einstellung.
$\begin{eqnarray*} y= 250*lg\left(10*sin(\varphi \pm 0,1%\right) \end{eqnarray*}$

dann ist mein wahrer $\begin{eqnarray*} \varphi= 45° =0,7854 \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} \varphi= [44,95° =0,7845] - [45.05°=0,7863] \end{eqnarray*}$

Die Gleichung: $\begin{eqnarray*} \pm 0,1=250*lg\left(1\pm\frac{10^{-N}}{sin(\varphi)} \right) \end{eqnarray*}$ rechnet Automtisch bei $\begin{eqnarray*} \varphi= 45° =0,7854 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi= [44,95° =0,7845] - [45.05°=0,7863] \end{eqnarray*}$ , da ist diese $\begin{eqnarray*} \pm 0,1 % \end{eqnarray*}$ mit einberechnet.

$\begin{eqnarray*} N=-lg\left[1-10^{-0.0004}*sin(45°) \right] =3,1864 \end{eqnarray*}$ gilt für $\begin{eqnarray*} \varphi= [44,95° =0,7845] \end{eqnarray*}$

Ablesung: 0-7-8-4-5 bei N= 3,1864, die 7-8-4 mit 3 Stellen sicher, aber die 5 nur mit 0,1864 = 18,64 % Stellen sicherheit.

$\begin{eqnarray*} N=-lg\left[(10^{-0.0004}-1)*sin(45°) \right] = 3,18604 \end{eqnarray*}$ gilt für $\begin{eqnarray*} \varphi= [45.05°=0,7863] \end{eqnarray*}$

Ablesung: 0-7-8-6-3 bei N= 3,18604, die 7-8-6 mit 3 Stellen sicher, aber die 3 nur mit 0,186 = 18,6 % Stellen sicherheit.

Interresant ware das N zu berechnen für 45° , wo ich sagen könnte das Eingestellte 45° $\begin{eqnarray*} \pm 0,1 % \end{eqnarray*}$ Fehler hat.

Bsp. N=3,1 dann könnte ich sagen das, das Eingestellte 45 ° mit $\begin{eqnarray*} - 0,1 % \end{eqnarray*}$ Fehler, würde mir sagen 4-4-9-5 die 3. Stellen aus N=3,1 sind sicher, aber 5 nur mit 0,1=10% Sicherheit Einstellbar bzw. dann könnte ich sagen das, das Eingestellte 45 ° mit $\begin{eqnarray*} + 0,1 % \end{eqnarray*}$ Fehler, würde mir sagen 4-5-0-5 die 3. Stellen aus N=3,1 sind sicher, aber 5 nur mit 0,1=10% Sicherheit Einstellbar.

Genau dieses N möchte ich bestimmen. damit ich sagen kann, wieviel Stellen von den eingestellten 45° mit $\begin{eqnarray*} \pm 0,1 % \end{eqnarray*}$ Fehler sind sicher Einzustellen, daher benötige ich den wert für N.

22.01.2024, 18:45

Berti

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$\begin{eqnarray*} N(0.7854)=-\lg\left[\left(10^{\frac{0,1}{250} }-1 \right) \cdot \sin(0.7854) \right] = 3.18604 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(0.7854)=3.18604 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(45)=3.18604 \end{eqnarray*}$ müsste doch ein anderen Wert N haben.

OK $\begin{eqnarray*} 45° = 0,7854 \end{eqnarray*}$ aber in der Skala stelle ich nicht $\begin{eqnarray*} 0.7854 \end{eqnarray*}$ ein sondern $\begin{eqnarray*} 45° \end{eqnarray*}$ ein.

$\begin{eqnarray*} N(45)= ????? \end{eqnarray*}$

23.01.2024, 14:03

Berti

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Gleichung umstellen
$\begin{eqnarray*} N(0.7854)=-\lg\left[\left(1-10^{\frac{-0,1}{250} } \right) \cdot \sin(0.7854) \right] = 3.1864 \end{eqnarray*}$ gilt dann für 0.7847 - 44.95 - 0.7064

Das würde bedeuten das N= 3,1864 das man [0-7-8-4-7 - 4-4-9-5 - 0-7-0-6-4] bei allem mit 3. Stellen lesen kann, die 4. Stelle mit 18.64 % wahrscheinlichkeit ablesen kann.

$\begin{eqnarray*} N(0.7854)=-\lg\left[\left(10^{\frac{+0,1}{250} }-1 \right) \cdot \sin(0.7854) \right] = 3.1860 \end{eqnarray*}$ gilt dann 0.7861 - 45.05 - 0.7078

Das würde bedeuten das N= 3,186 das man [0-7-8-6-1 - 4-5-0-5 - 0-7-0-7-8] bei allem mit 3. Stellen lesen kann, die 4. Stelle mit 18.6 % wahrscheinlichkeit ablesen kann.

Stimmt die Aussage ?

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23.01.2024, 21:25

Berti

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Edit (mY+): Zitat-Tags eingefügt.

Zitat:

Original von mYthos
...
Der Ausdruck N für das Argument $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ wurde dir bereits angegeben! Dieser gilt universell.
Vergleiche dazu die beiden Graphen!

Alternativ kannst du für die Skala anstatt $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in Grad auch $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in Radiant nehmen, also anstatt 44,3° den Wert 0.77318 (Umrechnungsfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{180} \end{eqnarray*}$ ).
Dies zeigt ebenso direkt die Abhängigkeit N von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$
Falls du nur 3 Dezimalstellen zu Verfügung hast, ist entsprechend zu runden bzw. die vorgegebene Toleranz einzuhalten.
...

glaube ich habe es verstanden. Es gibt aber nur ein Problem.

$\begin{eqnarray*} \varphi=45°=0.7854 \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} sin (\varphi)=0.7071 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N=3.18604 \end{eqnarray*}$ fur $\begin{eqnarray*} 0.7071 \end{eqnarray*}$ ablesung am Stab. Mit 3 stellen.
0-7-0-7, wie kann ich das nun in $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ umwandrln. $\begin{eqnarray*} arcsin(0.707) \end{eqnarray*}$ ok , wie geht es mittels umformung bzw. Formel.

24.01.2024, 01:51

mYthos

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Für $\begin{eqnarray*} \arcsin \varphi \end{eqnarray*}$ gibt es im Allgemeinen keinen anderen Weg als den über Tabellen* oder Taschenrechner.
Da SIN und ARCSIN transzedente Funktionen sind, gibt es zwischen diesen beiden keine algebraische Umrechnungsformel.

(*)
z. B. Logarithmenbuch (mit trig. Funktionen) oder Rechenschieber (Rechenstab).
Solch einen Rechenstab willst du ja auch verwenden, also mache dir noch eine zusätzliche Skala für die Sinuswerte der Winkelfunktionen.
Damit kannst du sin und arcsin in beiden Richtungen einstellen bzw. ablesen (auf max. 3 signifikante Stellen).

Bemerkung:
Wie ich gerade in der Boardhistory (in Beiträgen vor mehr als 10 Jahren) gesehen habe, beschäftigst du dich schon lange mit Rechenstäben.
Du hast auch einen wunderschönen Aristo Rechenschieber vorgestellt, da sind diese Skalen ohnehin schon darauf Big Laugh

Big Laugh

mY+

24.01.2024, 08:06

Berti

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Gleichung umstellen
Hallo mYthos,

genau ich interessiere mich für Rechenstäbe, es sind Interessante Geräte. Ich habe auch einige Exemplare.
Aber ich danke ihnen sehr, Sie helfen sehr gut. danke für die Mühe.

smile

smile

26.01.2024, 11:55

Berti

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Gleichung Umstellen

Zitat:

Original von mYthos
Ja, so ist es zutreffend!
Ich habe - bei genauerer Rechnung - ein Intervall von 44,26° bis 44,34°

mY+

Eine Frage noch wie hatten Sie denn genauer gerechnet, können Sie mir Bitte kurz mal rechnen, wenn Sie zeit haben. Danke. Hat mich nur Interessiert. smile

smile

26.01.2024, 15:29

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
...
Zum 2. Post: Es gilt: $\begin{eqnarray*} \arcsin (\sin \varphi) = \varphi \end{eqnarray*}$ (arcsin ist die Umkehrfunktion, die den Winkel aus dem Sinuswert liefert)
Allerdings betrifft das jetzt NICHT 44,3°, sondern den Radiant 0.77318, welcher dann um +/- 0.00092 schwanken kann.
Für den Winkel im Gradmaß bedeutet das dann eine Schwankungsbreite von (nur) +/-0.04° (!)

mY+

Ich habe dies jetzt nochmals nachgerechnet. Tatsächlich ist die Schwankungsbreite +/-0.05°.
Denn es ist (bei phi = 44,3°)

$\begin{eqnarray*} \varphi = 0,77318 \pm (10^{0.0004} - 1) = 0.77318 \pm \approx 0.00092 \end{eqnarray*}$

Umgerechnet in das Gradmaß: $\begin{eqnarray*} \varphi = 44.3° \pm \approx 0.05° \end{eqnarray*}$ , das Intervall lautet demnach [44,25°; 44,35°]

mY+

28.01.2024, 16:51

Berti

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Gleichung umstellen
Schwankungsbreite +/-0.05°
(phi = 15°)=0,26180

$\begin{eqnarray*} \varphi = 0,26180 \pm (10^{0.0004} - 1) = 0.26180 \pm \approx 0.00092 \end{eqnarray*}$

Umgerechnet in das Gradmaß: $\begin{eqnarray*} \varphi = 15° \pm \approx 0.05° \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} arcsin(\pm 0,00092)= \pm 0,05° \end{eqnarray*}$ Ist diese Spannbreite überall gleich groß im Intervall [5,74°-90°]

das Intervall lautet demnach [14,95°; 15,05°]

Ich hatte anders gerechnet:

$\begin{eqnarray*} 0,26180*(10^{\pm 0,0004}) =0,26180*(1\pm 0,00092) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,26180*(1\pm 0,00092)*\frac{180}{pi} \end{eqnarray*}$
das Intervall lautet demnach [14,99°; 15,01°]

PS: In ihrer Rechnung ist überall 0,05° Spannbreite gleich gross. Egal welchen $\begin{eqnarray*} \varphi° \pm 0,05° \end{eqnarray*}$

Bei meiner Rechnung $\begin{eqnarray*} \varphi° \pm \end{eqnarray*}$ unterschiedliche Spannbreite nicht konstant.

28.01.2024, 20:43

mYthos

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Dies liegt einfach an der letzten Gleichung!
So lange dort zu dem Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ der Fehlerterm 0,00092 nur additiv hinzukommt, ist es doch klar, dass das Fehlerintervall überall gleich ist, also unabhängig vom Winkel.

Warum du dann plötzlich den Fehlerterm als Faktor mit dem Winkel verknüpfst, bedarf einer Erklärung bzw. einer anderen Gleichung.

Im ersten Fall handelt es sich um einen absoluten, im zweiten um einen relativen Fehler.
Dass man die Fehlerrechnung mit einbeziehen sollte, habe ich schon in einem der früheren Beiträge angemerkt.

Das heißt jetzt, dass ein relativer (Einstell-)Fehler beim Winkel sich bei der erhaltenen Größe N wiederum als relativer Fehler fortpflanzt.
Dieser Fehler ist dann winkelabhängig.

mY+

29.01.2024, 11:37

Berti

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RE: Gleichung umstellen
Schwankungsbreite +/-0.05°
(phi = 15°)=0,26180 für Cos und Cot, Tan würde doch die gleiche werte kommen.

$\begin{eqnarray*} \varphi = 0,26180 \pm (10^{0.0004} - 1) = 0.26180 \pm \approx 0.00092 \end{eqnarray*}$

Umgerechnet in das Gradmaß: $\begin{eqnarray*} \varphi = 15° \pm \approx 0.05° \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} \varphi \pm \left( 0,00092*\frac{180}{pi}\right) = \varphi \pm \approx 0.05° \end{eqnarray*}$

das Intervall lautet demnach [14,95°; 15,05°]

das bedeutet das $\begin{eqnarray*} N(15°=0,26180) \end{eqnarray*}$ gilt nicht für 15° sondern für das Intervall $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 14,95 & 0,26093 \\ 15,05 & 0,26267 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Tan, Sin, Cos, Cot ist dann überall +- 0,05°

Wie würden Sie es denn mit relativen Fehler berechnen.

So über Rad: $\begin{eqnarray*} \frac{180}{pi} * \left[ 0,26180 +\left(0,26180* \pm 0,00092\right) \right] =\begin{vmatrix} 14,99 & 0,26162 \\ 15,01 &0,26197 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Soll ich das ganze in die bereich fehlerrechnung schieben. ? Weiss nicht wie es geht.

29.01.2024, 23:28

mYthos

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Verschieben können nur die Moderatoren, das ist aber hier nicht nötig, lassen wir es mal hier, so wie es ist.
------------------

Zitat:

Original von Berti
...das Intervall lautet demnach [14,95°; 15,05°]

das bedeutet das $\begin{eqnarray*} N(15°=0,26180) \end{eqnarray*}$ gilt nicht für 15° sondern für das Intervall $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 14,95 & 0,26093 \\ 15,05 & 0,26267 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
...

Genau so ist es! Wenn du nun diese Werte in die Gleichung für N einsetzst, bekommst du bereits (für N(15°)) näherungsweise die Grenzen des Fehlerintervalls!
Am Ende des folgenden Exkurses wird dies nochmals für die Verifizierung des Resultates gemacht!
-----------------

In der Tat können wir uns in das Gebiet der Fehlerrechnung begeben, auch wenn es hier einfach bzw. überschaubar bleibt.
Wenn eine zu berechnende Größe von mehreren Variablen abhängt, die infolge einer Messung mit Abweichungen (Mess-Fehlern) behaftet sind, so werden sich die einzelnen Fehler natürlich auch auf die berechnete Größe auswirken, das heißt also, sich auf diese von ihnen abhängige Größe fortpflanzen.
In welchem Maße dies geschieht, hängt außer von den einzelnen Messfehlern auch davon ab, wie die jeweiligen Variablen in das Endresultat eingehen (linear, quadratisch, exponentiell, logarithmisch, mit Winkelfunktionen, usw.)
Dies kann mit einer mehrdimensionalen Funktion beschrieben werden, also einer Funktion mit mehreren Variablen, nehmen wir der Einfachheit halber zunächst mal 2 (kann später auf beliebig viele ausgedehnt werden):

f = f(x,y)

Die absoluten (kleinen) Änderungen der Variablen x, y werden mit $\begin{eqnarray*} \dd x, \ \dd y \end{eqnarray*}$ bezeichnet, und diese wirken sich dann auf den von ihnen abhängigen Funktionswert f(x,y) aus, dessen absolute Änderung $\begin{eqnarray*} \dd f \end{eqnarray*}$ sei.

Ableitungen der Funktion f können nun entweder nach x oder y getätigt werden.
Solche Ableitungen sind teilweise Ableitungen, man nennt sie daher partielle Ableitungen.
Um ein Bild davon zu haben, wie sich diese im Gesamten auf die Funktion f auswirken, hat man den Begriff des totalen Differentials eingeführt:

$\begin{eqnarray*} \dd f = \frac{\partial f}{\partial x} \dd x + \frac{\partial f}{\partial y} \dd y \end{eqnarray*}$

Hier ist bereits zu sehen, dass diese Gleichung ideal zur Bestimmung eines Gesamtfehlers aus einzelnen Fehlern verwendet werden kann.
Für die Fehlerrechnung können wir schreiben:

$\begin{eqnarray*} \Delta f = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ -Größen sind die absoluten Abweichungen sowohl der unabhängigen Variablen als auch des davon abhängigen Funktionswertes f(x,y).
Da die Abweichungen der Ausgangsgrößen positiv oder negativ sein können, sind von allen die Beträge zu nehmen.
In die partiellen Ableitungen werden die zu erwartenden (d. s. die ohne Fehler behafteten) Werte eingesetzt.

Beispiel:
Gegeben ist ein rechtwinkeliges Dreieck:

Kathete a:10 cm ; Fehler bei der Messung 3%
Kathete b:15 cm ; Fehler bei der Messung 2%

Berechne den absoluten bzw. relativen Fehler, der bei der Ermittlung der Hypotenuse (c) entsteht.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} c = f(a,b) \end{eqnarray*}$

Das totale Differential dazu lautet:

$\begin{eqnarray*} \dd c = \frac{\partial c}{\partial a} \dd a + \frac{\partial c}{\partial b} \dd b \end{eqnarray*}$

Die Funktionsgleichung für die Hypotenuse c lautet:

$\begin{eqnarray*} f(a, b) = c = \sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial c}{\partial a} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{\partial c}{\partial b} \end{eqnarray*}$ sind die partiellen Ableitungen dieser Wurzelfunktion c nach a bzw. nach b

Mit diesen kommt für den absoluten Fehler bei c:

$\begin{eqnarray*} \Delta c = \frac{\partial c}{\partial a} \Delta a + \frac{\partial c}{\partial b} \Delta b; \quad \quad \frac{\partial c}{\partial a} = \frac a {\sqrt{a^2+b^2}}, \quad \frac{\partial c}{\partial b} = \frac b {\sqrt{a^2+b^2}} \end{eqnarray*}$

Mit den Prozentzahlen der Angabe (3% bei a, 2% bei b) ist $\begin{eqnarray*} a = 10 \pm 0,3 \ \text{mit } \Delta a = 0,3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = 15 \pm 0,3 \ \text{mit } \Delta b = 0,3 \end{eqnarray*}$

Setzen wir alles ein, so ist:

$\begin{eqnarray*} \Delta c = \frac{10 \cdot 0,3}{\sqrt{325}} + \frac{15 \cdot 0,3}{\sqrt{325}} = \frac{7,5}{\sqrt{325}} \end{eqnarray*}$ = 0,416

Zum Schluss dividieren wir noch durch den exakten Wert von c ( $\begin{eqnarray*} \sqrt {325} \end{eqnarray*}$ ) und erhalten als relativen Fehler 0,0231 = rd. 2,3%
------------------------------

Nach diesem kleinen Exkurs nun wieder zurück zu deinem Beispiel bzw. deiner Frage:

Hier geht es um die Funktion $\begin{eqnarray*} N(\varphi) \end{eqnarray*}$ , wobei N nur von einer Variablen abhängt.
Dabei ist bei dem totalen Differential die partielle Ableitung gleich der totalen (normalen) Ableitung $\begin{eqnarray*} \dd N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} d\varphi = N'(\varphi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1) \ N(\varphi)=-\lg(0,00092 \sin x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ N'(\varphi) = \frac{\dd N}{\dd \varphi} = -\frac 1 {\ln 10 \cdot \tan \varphi} \end{eqnarray*}$

Das (totale) Differential für die Fehlerrechnung:

$\begin{eqnarray*} \dd N = \frac{\partial N}{\partial \varphi}\dd \varphi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3) \ \Delta N = N'(\varphi) \cdot \Delta \varphi \end{eqnarray*}$

Du hast nun für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ = 15° gewählt, das sind 0,2618 rad. Die Einstellungstoleranz dafür ist - wie schon gesagt, unabhängig von der Größe des Winkels - 0,05° bzw. 0,00092 rad
Dies setzen wir für $\begin{eqnarray*} \Delta \varphi \end{eqnarray*}$ in Gleichung (3) und berechnen hiermit $\begin{eqnarray*} |\Delta N| \end{eqnarray*}$ = rd. 0,0015
Daher wird das Fehlerintervall für N zu [3,6225 +/- 0,0015] = [3,6210, 3,6240]

Letztendlich ist der relative Fehler gleich $\begin{eqnarray*} \frac{0,00149}{3,6225} \end{eqnarray*}$ = rd. 0.0004 bzw. rd. 0,04%

Du kannst das Resultat dieser Rechnung - näherungsweise - überprüfen, indem du einmal N(14,95°) und N(15,05°) berechnest und diese Werte mit N(15°) vergleichst.
Dabei müssen die Differenzen der Funktionswerte zumindest ungefähr denen der Fehlerrechnung entsprechen.

mY+

30.01.2024, 12:13

Berti

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Gleichung umstellen

Zitat:

Original von mYthos
...
Du hast nun für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ = 15° gewählt, das sind 0,2618 rad. Die Einstellungstoleranz dafür ist - wie schon gesagt, unabhängig von der Größe des Winkels - 0,05° bzw. 0,00092 rad
...

Beim Winkels $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ 0,05° bzw. $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ 0,00092 rad ist wahrscheinlich uninterresant ob der $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} cos(\varphi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} tan (\varphi) \end{eqnarray*}$ ist.

z.B

$\begin{eqnarray*} sin(15°) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \varphi =15° \pm 0.05° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(15°) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \varphi =15° \pm 0.05° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} tan (15°) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \varphi =15° \pm 0.05° \end{eqnarray*}$

Egal wo der $\begin{eqnarray*} (\varphi) \end{eqnarray*}$ in sin, cos ,tan Eingestellt wird, ist immer der Einstellungstoleranz $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ 0,05° bzw. $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ 0,00092 rad gleich ist. Oder Irre ich mich. smile

smile

30.01.2024, 13:14

mYthos

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RE: Gleichung umstellen

Zitat:

Original von Berti
...
Beim Winkels $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ 0,05° bzw. $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ 0,00092 rad ist wahrscheinlich uninterresant ob der $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} cos(\varphi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} tan (\varphi) \end{eqnarray*}$ ist.
...

Nein, das ist es ganz und gar nicht!
Zwischen $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin \varphi, \cos \varphi, ... \end{eqnarray*}$ bestehen im Allgemeinen markante Unterschiede.
So ist beispielsweise bei $\begin{eqnarray*} \varphi = 0,5236 \ (30°) \end{eqnarray*}$ der sin 0,5, der cos 0,866 und der tan 0,577
Nur bei sehr kleinen Winkeln (1° - 6°) kann deren Sinus und Tangens näherungsweise dem Bogenmaß gleichgesetzt werden.
Das ist der Grund, weshalb bei den Rechenstäben die Winkelskala erst mit ca. 6° beginnt. Die Werte davor sind mittels des Bogenmaßes zu berechnen.

Bei der Fehlerrechnung handelt es sich um Funktionen und deren Differentiale.
Die Argumente und Differentiale liegen bei goniometrischen (trigonometrischen) Funktionen ausschließlich im Bogenmaß vor.
Auf diesem Gebiet ist es unabdingbar, mit den Argumenten im Bogenmaß zu arbeiten. Am Ende kannst du diese bei Bedarf immer noch wieder in das Gradmaß umrechnen.

P.S.: Hast du mit den Informationen über die Fehlerrechnung etwas anfangen können?

mY+

30.01.2024, 15:18

Berti

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RE: Gleichung umstellen

Zitat:

Original von Berti
[quote]Original von mYthos
...
Du hast nun für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ = 15° gewählt, das sind 0,2618 rad. Die Einstellungstoleranz dafür ist - wie schon gesagt, unabhängig von der Größe des Winkels - 0,05° bzw. 0,00092 rad
...

z.B $\begin{eqnarray*} \varphi =15° \end{eqnarray*}$ in Rad $\begin{eqnarray*} 0,26180 \end{eqnarray*}$

ich habe meine frage falsch formuliert, wollte fragen ob man $\begin{eqnarray*} \varphi =15° \pm 0.05° \end{eqnarray*}$ in Rad $\begin{eqnarray*} 0,26180 \pm 0.00092 \end{eqnarray*}$ immer addieren bzw. subtrahieren kann.
Und das dieser der Fehlerterm 0,00092 für $\begin{eqnarray*} \varphi (0,26180) \end{eqnarray*}$ gleich ist, ob der Rad von 15° = 0,2618 in cos, tan, sin eingesetzt wird. Die fehlerrechnung habe ich verstanden.

$\begin{eqnarray*} sin(0,26180) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0,26180 \pm 0,00092 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ daraus den intervall $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 14.95 & 0.26088 \\ 15.05 & 0.26272 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(0,26180) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0,26180 \pm 0,00092 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ daraus den intervall $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 14.95 & 0.26088 \\ 15.05 & 0.26272 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan(0,26180) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0,26180\pm 0,00092 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ daraus den intervall $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 14.95 & 0.26088 \\ 15.05 & 0.26272 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese 15° = 0,26180 Rad kann ich ja entsprechen in der Skala , Cos, Tan auch einstellen.

30.01.2024, 15:44

Berti

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Gleichung umstellen
Für sin(0,26180)

$\begin{eqnarray*} (1) \ N(\varphi)=-\lg(0,00092 \sin x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ N'(\varphi) = \frac{\dd N}{\dd \varphi} = -\frac 1 {\ln 10 \cdot \tan \varphi} \end{eqnarray*}$

Das (totale) Differential für die Fehlerrechnung:

$\begin{eqnarray*} \dd N = \frac{\partial N}{\partial \varphi}\dd \varphi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3) \ \Delta N = N'(\varphi) \cdot \Delta \varphi \end{eqnarray*}$

Für Cos(0,26180)

$\begin{eqnarray*} (1) \ N(\varphi)=-\lg(0,00092 \cos x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ N'(\varphi) = \frac{\dd N}{\dd \varphi} = \frac{tan(\varphi)}{ln(10)} \end{eqnarray*}$

Das (totale) Differential für die Fehlerrechnung:

$\begin{eqnarray*} \dd N = \frac{\partial N}{\partial \varphi}\dd \varphi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3) \ \Delta N = N'(\varphi) \cdot \Delta \varphi \end{eqnarray*}$

Für tan(0,26180)

$\begin{eqnarray*} (1) \ N(\varphi)=-\lg(0,00092 \tan x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ N'(\varphi) = \frac{\dd N}{\dd \varphi} =- \frac{1}{ln(10)*cos(\varphi)*sin(\varphi)} \end{eqnarray*}$

Das (totale) Differential für die Fehlerrechnung:

$\begin{eqnarray*} \dd N = \frac{\partial N}{\partial \varphi}\dd \varphi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3) \ \Delta N = N'(\varphi) \cdot \Delta \varphi \end{eqnarray*}$

30.01.2024, 21:26

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichung umstellen

Zitat:

Original von Berti
...
ich habe meine frage falsch formuliert, wollte fragen ob man $\begin{eqnarray*} \varphi =15° \pm 0.05° \end{eqnarray*}$ in Rad $\begin{eqnarray*} 0,26180 \pm 0.00092 \end{eqnarray*}$ immer addieren bzw. subtrahieren kann.
Und das dieser der Fehlerterm 0,00092 für $\begin{eqnarray*} \varphi (0,26180) \end{eqnarray*}$ gleich ist, ob der Rad von 15° = 0,2618 in cos, tan, sin eingesetzt wird...

Ja, das ist richtig, der immer mit dem gleichen Fehler behaftete Winkel kann natürlich in jede Funktion eingesetzt werden.

Zitat:

Original von Berti
...
Für tan(0,26180)

$\begin{eqnarray*} (1) \ N(\varphi)=-\lg(0,00092 \tan x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ N'(\varphi) = \frac{\dd N}{\dd \varphi} =- \frac{1}{ln(10)*cos(\varphi)*sin(\varphi)} \end{eqnarray*}$
...

Da stimmt die Gleichung (2) nicht, denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \tan \varphi \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 1 + tan^2 \varphi = \frac 1 {\cos^2 \varphi} \end{eqnarray*}$ , auch geschrieben als $\begin{eqnarray*} \frac 1 {(\cos \varphi)^2} \end{eqnarray*}$

mY+

30.01.2024, 22:16

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichung umstellen
Vielen dank fur deine Hilfe und Mühe, das hat mir sehr geholfen. smile

smile

30.01.2024, 22:20

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist erfreulich, gerne, soferne ich helfen kann :-)

mY+

06.02.2024, 14:52

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichung Umstellen

Zitat:

Du hast nun für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ = 15° gewählt, das sind 0,2618 rad. Die Einstellungstoleranz dafür ist - wie schon gesagt, unabhängig von der Größe des Winkels - 0,05° bzw. 0,00092 rad

15° $\begin{eqnarray*} \pm 0,05° \end{eqnarray*}$
0,2618 rad $\begin{eqnarray*} \pm 0,00092 \end{eqnarray*}$

Wie gross ist den die Einstellungstoleranz für die x-Skala $\begin{eqnarray*} \left[1,10\right] \end{eqnarray*}$

ist der Einstelltoleranz z.B für 5 $\begin{eqnarray*} \pm 0,00092 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 4,99908 - 5,00092 \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} 5\pm (5*0,00092) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 4,9954 - 5,0046 \end{eqnarray*}$

Welcher Einstelltolerans ist den Richtig. wenn $\begin{eqnarray*} 10^{\frac{0.1}{250} }-1 =0.00092 \end{eqnarray*}$ gilt.
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} N(x)=1-lg(0.00092)-lg(x) \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} N'(x)= -\frac{1}{ln(10)*x} \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} \Delta N = N(x)' * \Delta x \end{eqnarray*}$

ist mein $\begin{eqnarray*} \Delta x = \pm 0,00092 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \Delta x =5*\pm 0,00092 \end{eqnarray*}$
welches $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ setze ich in die 3. gleichung smile

smile

08.02.2024, 15:37

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird nicht mit x (5) multipliziert. Übrigens, was soll denn 5 sein?

Sondern die Abweichung ist (beim Winkel) immer gleich +/-0,00092
Dies wird auch bei der Ableitung (als Absolutbetrag) in der Fehlerrechnung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \Delta x = 0,00092 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(x)' = -1,6208 \text{ (bei } x = 0,2618 \ (15°) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Delta N = -1,6208 \cdot 0,00092 = \text{ rd. } 0,0015 \end{eqnarray*}$

Eigentlich steht das Gleiche ohnehin auch schon in dem zitierten Beitrag verwirrt

verwirrt

mY+

08.02.2024, 22:44

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichung umstellen
Hallo mYthos,

ich habe dein Beitrag über die Fehlerrechnung 100 % verstanden. Ich habe verstanden das die abweichung "absoluter Fehler" $\begin{eqnarray*} \Delta x = \pm 0,00092 \end{eqnarray*}$ ist, egal welcher Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ genommen wird, und ob der $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in Sin, cos, tan vorkommt, das dem $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} \pm 0,05° \end{eqnarray*}$ und dem Rad von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pm 0,00092 \end{eqnarray*}$ addiert bzw. subtrahiert wird. Bis jetzt hatte ich die Winkelskalen, sin, cos, tan gehabt, wo ich das $\begin{eqnarray*} N(\varphi), N'(\varphi), \Delta N, \frac{\Delta N}{N} \end{eqnarray*}$ bestimmt habe.

Diesmal habe ich keine Winkelskala $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sondern eine x-skala im Inteval [1;10], welches die strecke mit $\begin{eqnarray*} y=250*lg(x) \end{eqnarray*}$ aufgetragen wird. Für x habe ich als Bsp. 5 gewählt.
Die abweichung für die x-Skala ist $\begin{eqnarray*} 10^{\frac{\pm 0.1}{250}}-1=\pm 0.00092 \end{eqnarray*}$
Meine frage war ist die Fehlertolerans bzw. Absoluter Fehler dem x-Wert = 5 auch $\begin{eqnarray*} \pm 0,00092 \end{eqnarray*}$ . Angenommen wert 5, wird inder x-Skala einstellt, ist den mein Interval $\begin{eqnarray*} 5 \pm 0,00092 \end{eqnarray*}$ Fehler behaftet. oder ist $\begin{eqnarray*} \Delta x\ nicht \pm 0,00092 \end{eqnarray*}$ , ich muss ja in der Fehlerechnung $\begin{eqnarray*} \Delta N = N'(x)*\Delta x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ eingeben, ich hatte vermuttet, das mein $\begin{eqnarray*} \Delta x = x* \pm 0,00092 \end{eqnarray*}$ ist.
Ich möchte $\begin{eqnarray*} N(x), N'(x), \Delta N, \frac{\Delta N}{N} \end{eqnarray*}$ für den Wert X= 5 berechnen.
Wenn ich den $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ kenne, kann ich die Fehlerrechnung berechnen.

1. $\begin{eqnarray*} N(x)=1-lg(0,00092)+lg(x) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} N'(x) \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} \Delta N = N'(x)* \Delta x \end{eqnarray*}$ welchen wert hat $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$

Viele Grüße

09.02.2024, 14:36

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Vorab einmal etwas Grundsätzliches zur Algebra:

$\begin{eqnarray*} 10^{\pm 0.0004} \text{ ist nicht }\pm 10^{0.0004} \end{eqnarray*}$ , dabei besteht im Allgemeinen ein großer Unterschied.

Dieser ist hier nur deswegen so klein, weil der Exponent sehr klein und daher der Zahlenwert nahe an 1 ist.

$\begin{eqnarray*} 10^{0,0004}-1 = 0,00092146; \ 10^{-0.0004}-1 = 0,00092061 \end{eqnarray*}$ bzw.

$\begin{eqnarray*} 10^{0,0004} = 1,00092146; \ 10^{-0.0004} = 0,99907939 \end{eqnarray*}$

Bei anderen Exponenten ist z. B. $\begin{eqnarray*} 10^{0,1}-1 = 0,2589; \ 10^{-0,1}-1 = -0,2057 \end{eqnarray*}$

Hoffentlich weißt du auch, weshalb ...
___________________

Nun:
Wenn du den Absatz mit der Fehlerrechnung nochmals genau durchliest, wirst du sehen, dass $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ nicht mit x multipliziert wird, sondern mit der Ableitung an der Stelle x (!)

Weil bei $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ die +/- Abweichungen betragsmäßig (absolut) genommen nicht genau gleich sind, nehmen wir bei sichtbarem Unterschied den größeren Wert (hier bleibt es bei 0,00092).

Nachdem nunmehr $\begin{eqnarray*} f(x) = 250 \lg x \end{eqnarray*}$ und demnach $\begin{eqnarray*} f \ '(x) = \frac{1}{\ln 10}\frac{250}{x} \end{eqnarray*}$ ist, gilt bei x = 5

$\begin{eqnarray*} \Delta f = f \ '(x) \Delta x = f \ '(5) \Delta x = \frac{250}{5 \ln 10} \Delta x = \frac{50}{\ln 10} \cdot 0.00092 \approx 0,02 \end{eqnarray*}$

So weit klar?

mY+

10.02.2024, 08:25

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

Das heisst , egal welchen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ich habe, ist der absolut fehler immer $\begin{eqnarray*} \Delta x= \begin{vmatrix} -0.00092061 \\ +0.00092145 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \pm \Delta x \end{eqnarray*}$ immer mit dem Absolut Fehler behaftet.

Und somit immer: $\begin{eqnarray*} \Delta y = f'(x) *\Delta x \end{eqnarray*}$

ich dachte das der $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ immer abhangig von x sei.

10.02.2024, 08:26

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichung umstellen
Vielen Vielen Dank. smile

smile

11.02.2024, 11:47

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichung umstellen

Zitat:

Original von mYthos

Nachdem nunmehr $\begin{eqnarray*} f(x) = 250 \lg x \end{eqnarray*}$ und demnach $\begin{eqnarray*} f \ '(x) = \frac{1}{\ln 10}\frac{250}{x} \end{eqnarray*}$ ist, gilt bei x = 5

$\begin{eqnarray*} \Delta f = f \ '(x) \Delta x = f \ '(5) \Delta x = \frac{250}{5 \ln 10} \Delta x = \frac{50}{\ln 10} \cdot 0.00092 \approx 0,02 \end{eqnarray*}$

Danach folgt:

$\begin{eqnarray*} f(x) \pm \Delta f = 174,74 \ mm \pm \approx 0,02 \ mm \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 174.72 \ mm = & 4.999\\174.74 \ mm & 5.000 \\ 174.76 \ mm & 5.0009 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Das bestätigt das ich jedem x Wert einfach dem fehlertoleranz $\begin{eqnarray*} \Delta x= \pm \approx 0.00092 \end{eqnarray*}$ imm er einfach addieren bzw. subtrahieren kann. So wie beider Winkel einfach dem Rad von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \pm \approx 0.00092 \end{eqnarray*}$ genommen habe.

z.B

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}x=3 \pm \approx 0.00092 \\x=6 \pm \approx 0.00092 \\x=9 \pm \approx 0.00092 \\x=5 \pm \approx 0.00092 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

11.02.2024, 12:33

mYthos

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Ja, beim x-Wert stimmt das.
Bei f(x) hängt das natürlich von x ab; bei x = 5 ist die Toleranz 0,02, bei x = 10 nur noch 0,01

mY+

11.02.2024, 16:34

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichung umstellen
$\begin{eqnarray*} N(x) = 1-log(0.00092)-lg(x)= N(x) = 1-log(0.00092)-lg(5)= 3.33724 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N'(x)=- \frac{1}{ln(10)*x} = - \frac{1}{ln(10)*5} =-0.08686 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Delta N=N'(x)*\Delta x = -0.08686* \pm \approx 0.00092 =\pm 0.00008 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(x) \pm \Delta N=3.33724 \pm 0.00008 =\begin{vmatrix} 3.33732 = 4.999 \\3.33724 =5,000 \\ 3.33716=5.0009 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich $\begin{eqnarray*} f(x) \pm \Delta f \ und \ N(x) \pm \Delta N \ bestimme=\begin{vmatrix}174.72 \ mm \ = 3.33732 = 4.999 \\174.74 \ mm \ 3.33724 =5,000 \\174.76 \ mm \ 3.33716=5.0009 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ stimmen die Werte untereinader.

Dann könnte man es so zusammenfassen $\begin{eqnarray*} N(x) = 1-log(0.00092)-lg(x) \end{eqnarray*}$ so das man zu jedem $\begin{eqnarray*} x \pm \approx \Delta x \end{eqnarray*}$ immer denn $\begin{eqnarray*} N(x) \pm \approx \Delta N \end{eqnarray*}$ bestimmen kann. Stimmt meine Aussage. ?

Dann kann man jede funktion in f(x) egal was x ist, mit gleicher methode $\begin{eqnarray*} f(x) \pm \Delta f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N(x) \pm \Delta N \end{eqnarray*}$ bestimmen.

14.02.2024, 02:42

mYthos

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Zunächst wieder etwas Algebra bzw. Analysis:
Von negativen Zahlen existiert kein Logarithmus, daher ist log(+/- 0,00092) unzutreffend, du darfst (innerhalb log) nur das Plus nehmen.
Schreibe daher gegebenenfalls +/- VOR den log, denn bei den Fehlern selbst wird natürlich +/- gelten.
---------------------

Wie du gerechnet hast (und du auf 3,33724 gekommen bist), ist mir nicht bekannt, jedenfalls ist N(5) = 3,33655

Und von welcher Funktion bzw. woher 174,74 kommt und wie das mit den anderen Zahlen zusammenhängt, ist für mich ebenfalls undurchsichtig.

Zitat:

Original von Berti
...
Dann kann man jede funktion in f(x) egal was x ist, mit gleicher methode $\begin{eqnarray*} f(x) \pm \Delta f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N(x) \pm \Delta N \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Das ist mir schleierhaft. Weshalb sprichst du jetzt plötzlich von zwei Funktionen, f(x) und N(x)?
Wir hatten die Variable x, welche mit dem Fehler Delta x behaftet ist und die dazu definierte Funktion N(x) mit dem Fehler Delta N.
-->
Im obigen Beispiel schwanken die x-Werte um rund 0.001, was eine Schwankung der Funktionswerte um rd. 0.0001 zur Folge hat*.
Ein Fehler in x pflanzt sich entweder auf f(x) oder auf N(x) aus, jedenfalls immer von den x-Werten ausgehend..

Das ist das Prinzip und (*) dort das Ergebnis der Fehlerrechnung.

mY+

14.02.2024, 14:53

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichung umstellen

Zitat:

Original von mYthos

Nachdem nunmehr $\begin{eqnarray*} f(x) = 250 \lg x \end{eqnarray*}$ und demnach $\begin{eqnarray*} f \ '(x) = \frac{1}{\ln 10}\frac{250}{x} \end{eqnarray*}$ ist, gilt bei x = 5

$\begin{eqnarray*} \Delta f = f \ '(x) \Delta x = f \ '(5) \Delta x = \frac{250}{5 \ln 10} \Delta x = \frac{50}{\ln 10} \cdot 0.00092 \approx 0,02 \end{eqnarray*}$

Diese $\begin{eqnarray*} \Delta f\approx 0.02 \end{eqnarray*}$ sind doch in mm oder ?

ich bin davon ausgegangen das $\begin{eqnarray*} f(x) = 250 \lg (5) = 174.7425 \ mm \end{eqnarray*}$ sind.
Und da $\begin{eqnarray*} f(x) \pm \Delta y \end{eqnarray*}$ sind. Habe einfach $\begin{eqnarray*} f(x) = 174.7425 \ mm \ \pm 0.02 mm \ \end{eqnarray*}$

Und aus der Strecke habe ich die zugehörige $\begin{eqnarray*} x \pm \Delta x \end{eqnarray*}$ berechnet. $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 174.7425 \ mm + 0.02 \ mm = 5.00092 \\ 174.7425 \ mm - 0.02 \ mm =4.99908 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von mYthos

Das ist mir schleierhaft. Weshalb sprichst du jetzt plötzlich von zwei Funktionen, f(x) und N(x)?
Wir hatten die Variable x, welche mit dem Fehler Delta x behaftet ist und die dazu definierte Funktion N(x) mit dem Fehler Delta N.
...

Ich habe es verstanden habe mich nur falsch ausgedrückt. Es geht um x, welche mit dem Fehler Delta x behaftet ist und die dazu definierte Funktion N(x) mit dem Fehler Delta N. das ist so Richtig.

Und nun zum N(x)

$\begin{eqnarray*} N(x)= 1-lg(10^{0.0004}-1)-lg(5)= 3.33655 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(x)= 1-lg(1-10^{-0.0004})-lg(5)= 3.33695 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N'(x)= -\frac{1}{ln(10)*5}=-0.086859 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Delta N=N'(x)*\Delta x =-0.086859 * \ \begin{vmatrix}10^{0.0004}-1 \\ 1-10^{-0.0004} \\ \end{vmatrix} =\begin{vmatrix}\Delta N =-8.00368^{-5} \\\Delta N =-7.99631^{-5} \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(x) =\begin{vmatrix}3.33655 \\ 3.33695 \end{vmatrix} \pm\begin{vmatrix}\Delta N =-8.00368^{-5} \\\Delta N =-7.99631^{-5} \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3,33647 \\ 3,33663 \\ 3,33687 \\ 3,33703 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Also dann liegt mein wahrer $\begin{eqnarray*} N(x) = \ im \ Interval \ \begin{vmatrix} N(x)=3,33647 \ für \ x =5.00092\\N(x)=3,33703 \ für \ x =4.99908 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit schwanken die x-Werte um rund 0.001, was eine Schwankung der Funktionswerte um rd. 0.0001 zu folge hat.

Ist es So vertsändlich. smile

smile

17.02.2024, 00:05

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Berti
...
Diese $\begin{eqnarray*} \Delta f\approx 0.02 \end{eqnarray*}$ sind doch in mm oder ?
...
...

Wenn die Variablen eine bestimmte gemeinsame Einheit (Dimension, hier [mm]) haben, dann gilt das eben auch für deren (absolute) Fehler.

In der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = 250 \lg x \end{eqnarray*}$ sind 250 und auch x in mm. Die Ableitung $\begin{eqnarray*} f \ '(x) = \frac{1}{\ln 10}\frac{250}{x} \end{eqnarray*}$ hat keine Dimension (jene von 250 und x heben sich auf).
Daher ist für $\begin{eqnarray*} \Delta f = f \ '(x) \Delta x = f \ '(5) \Delta x = \frac{250}{5 \ln 10} \Delta x = \frac{50}{\ln 10} \cdot 0.00092 \approx 0,02 \end{eqnarray*}$

das Resultat für den Fehler in mm.

mY+

17.02.2024, 18:07

Berti

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Gleichung umstellen
Vielen dank für deine Mühe. smile

smile

31.10.2024, 17:52

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichung umstellen
Frage fehlerhaft daher Frage einstellen.

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