Extrema einer stetig fortsetzbaren Funktion

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bonjwa Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema einer stetig fortsetzbaren Funktion
Hallo,

es geht um die in x=0 stetig fortsetzbare Funktion falls x ungleich 0 bzw. f(x)=0 falls x=0

Die 1. Ableitung für x ungleich 0 lautet f '(x)=2x(ln(x²)+1)

Als lokale Tiefpunkte hatte ich erhalten, wodurch das globale Minimum bei liegt - ist das soweit korrekt ?

Die Frage ist jetzt, ob in (0|0) nun wirklich auch ein lokaler Hochpunkt vorliegt (wie es der Graph vermuten lässt).
f '(0) ist ja in der Tat Null.
Reicht die z.B. mit der Regel von L'Hospital nachweisbare Tatsache, dass und ebenso f '(x)>0 für bzw. f '(x)<0 für gilt, um den Ursprung (0|0) zu einem lokalen Maximum zu klassifizieren ? verwirrt
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema einer stetig fortsetzbaren Funktion
Das globale Minimum ist korrekt.

Bezüglich des lokalen Hochpunkts meinst Du wahrscheinlich das Richtige.
Einerseits ist , andererseits bestimmt der Term in einer beliebig kleinen Umgebung um x=0 das Vorzeichen von .

Man beachte auch, dass der Graph von achsensymmetrisch ist.
bonjwa Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Kontrolle und Bewertung.

Mit den letzten beiden Zeilen meines vorigen Beitrags wollte ich die typischen Hochpunkteigenschaften zum Ausdruck bringen, also das, was man in der Schule gern als notwendige und hinreichende Bedingung bezeichnet.

Notwendig ist, dass die Steigung in x=0 (auch bei Annäherung von links und rechts) wirklich Null ist und hinreichend gemäß des VZW-Kriteriums der 1. Ableitung, dass der Graph (in einer passenden, durch die Nullstellen der 1. Ableitung festgelegten Umgebung) vor x=0 steigt und nach x=0 fällt.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, die Idee ist schon richtig. Ich wollte aber drauf hinweisen, dass der Vorzeichenwechsel immer in "unmittelbarer Nähe" der kritischen Stelle zu begründen ist. Also maximale Monotonieintervalle als Schlußfolgerung der Extremstellenprüfung, nicht als Prämisse.

Zitat:
was man in der Schule gern als notwendige und hinreichende Bedingung bezeichnet.

Leider stelle ich in der Praxis häufig fest, dass diese Begriffe in der Schule auch nicht mehr so nachdrücklich vermittelt werden.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

An der Stelle benötigt man auch keine Ableitung. Es ist und falls wie man sofort sieht. Damit ist der (lokal) höchste Punkt.
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