Anstieg einer Funktion f(x,y) in Richtung eines Winkels

Neue Frage »

Mathe Oma Auf diesen Beitrag antworten »
Anstieg einer Funktion f(x,y) in Richtung eines Winkels
Meine Frage:
Hallo!
Meine Aufgabe heißt: Ermitteln Sie den Anstieg der Funktion f(x,y) im Punkt (1,0) in Richtung des Winkels 2/3 Pi.
Ich kann ja eine Tangentialebene an den Punkt bestimmen, könnte auch den Anstieg in Richtung eines Vektors berechnen, aber wo ist dieser Winkel? Ein Winkel muss doch immer zwischen zwei Schenkeln sein. Ich kann mirs nicht vorstellen.
Vielleicht kann es mir jemand nettes erklären...
Recht vielen Dank


Meine Ideen:
Ich habe im Forum eine Formel gefunden: m= Grad *(cos(alpha) ; sin(alpha)), aber wenn das der Vektor v sein soll, fehlt doch die dritte Koordinate...
Ist mit alpha der Winkel zur positiven x-Achse gemeint?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Falls es sich um eine 3-dimensionale Funktion f: z = f(x,y) (und nicht um eine implizite Funktion f(x,y) = 0) handelt, hat der Punkt die Lage (1,0,z).
Möglicherweise soll die Richtungsableitung bestimmt werden, das geschieht dann allerdings mit dem Zahlenpaar (1,0), den partiellen Ableitungen fx, fy und dem normierten Richtungsvektor.

Hinweis:
Den normierten Richtungsvektor aus dem gegebenen Winkel ermittelst du vorteilhaft mittels



Dieser Vektor ist nämlich auch schon normiert (er hat die Länge 1), wie es für die RA (Richtungsableitung) Bedingung ist.
----------------

Stelle im Übrigen bitte die Aufgabe vollständig und im Originaltext, um Missverständnisse zu vermeiden.

mY+
Mathe Oma Auf diesen Beitrag antworten »
Anstieg einer Funktion f(x,y) in Richtung eines Winkels
Hallo mYthos!
Vielen Dank für die nette Antwort.
Die Funktion heißt: f(xy)=6x^3*y-3x²y²-3x^4+x^3-3x.
Ich denke, es ist eine 3-dimensionale Funktion.
Nun habe ich schon bei der Angabe des Punktes (1,0) ein Problem. Müsste es nicht P(1,0,f(1,0)) heißen?
Beim Richtungsvektor fehlt doch auch die z-Koordinate. Da denke ich, z müsste 0 sein, denn sonst passt das ja nicht mit cos (alpha)/sin(alpha).
Ich würde mir das Ganze halt gern vorstellen können.
Ich denke nun: Man nimmt eine Ebene, die identisch mit der x-z-Ebene ist,dreht sie um 120° und verschiebt sie in den Punkt P. Sie schneidet dann die Tangentialebene. Nun müsste der gesuchte Anstieg doch der Anstieg dieser Schnittgerade sein.
Oder reime ich mir da irgendwelchen Blödsinn zusammen?
Schöne Grüße
Ch.S.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe Oma
Nun habe ich schon bei der Angabe des Punktes (1,0) ein Problem. Müsste es nicht P(1,0,f(1,0)) heißen?

Mit Punkt ist die (zweidimensionale) Stelle gemeint, wo der Funktionswert betrachtet wird - NICHT der zugehörige Punkt auf dem Funktionsgraphen. Der ist (wie von dir richtig angemerkt) .

Zitat:
Original von Mathe Oma
Beim Richtungsvektor fehlt doch auch die z-Koordinate.

Auch hier geht es bei nur um die Richtung im zweidimensionalen Definitionsgebiet - da "fehlt" also nichts, sondern das ist so gewollt!

Ergänzt um den letztlich zu berechnenden Anstieg beschreibt der Vektor dann einen Tangentialvektor an den Funktionsgraphen (der hier eine i.a. krummlinige Fläche ist), dessen Projektion in die xy-Ebene einem Einheitsvektor in der vorgegebenen Richtung entspricht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss HAL zustimmen, wir haben zwar eine 3-dimensionale Funktion und an der Stelle (x; y) befindet sich auch der Punkt P(x; y; f(x;y)), aber dort ist (derzeit) nicht die Tangentialebene* an die Fläche gefragt.
Vielmehr geht es um die Steigung einer Tangente in der vorgegebenen 2-dimensionalen Richtung

(*) Diese kann ebenfalls berechnet werden, aber das ist eine andere Geschichte Big Laugh

mY+
Mathe Oma Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Die Aufgabe hat mir keine Ruhe gelassen. Ich habs mal ausprobiert.
Für die Funktion:
( Was ist das für ein seltsamer Formeleditor?)
ist die Tangentialebene im Punkt P(1/0) : 12x+z=7
Nun soll der Anstieg im Winkel 120° bestimmt werden, also . Der Gradient in P ist: .
Es ergibt sich ein Anstieg von m=6.
Nun habe ich eine Ebene gebastelt: Die x-z-Ebene um 120° gedreht und in P geschoben:

Dann habe ich die Schnittgerade dieser Ebene mit der Tangentialebene ermittelt:

Wenn ich jetzt den Winkel zwischen dem Richtungsvektor der Schnittgeraden und dem Vektor, der dem Winkel in der x-y-Ebene entspricht ( also ) berechne,
erhalte ich =80,54°
Der Tangens von 80,54° ist m= 6
Das zeigt doch eigentlich, dass man sich dieses Problem so veranschaulichen kann.
Schöne Grüße
Wink
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast dich gleich zu Anfang verrechnet.
Die partielle Ableitung in (2, 1) von f nach y ist 6, nicht 0.

Somit lautet die Tangentialebene (in P(1,0,-5)): 12x - 6y + z = 7 mit dem Gradientenvektor als Normalvektor.

Der durch die Richtungsableitung berechnete Tangentialvektor muss nun (hinsichtlich der Projektion) parallel zu der Tangentialebene liegen.

Das kann mittels des skalaren Produktes überprüft werden, es muss demnach zu Null werden:



mY+
Mathe Oma Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Das war natürlich sehr dumm von mir. (x und y verwechselt unglücklich )
Ich habs nochmal mit dem richtigen fy(1,0) durchgerechnet.
Der Tangentialvektor hat dann wohl die z-Koordinate: Anstieg/Betrag vom Richtungsvektor und weil der 1 ist,
steht der Anstieg hier als z -Koordinate ?
Ich glaube jetzt ist mir die Sache klar geworden.
Recht vielen Dank.
Wink
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe Oma
...
Der Tangentialvektor hat dann wohl die z-Koordinate: Anstieg/Betrag vom Richtungsvektor und weil der 1 ist,
steht der Anstieg hier als z -Koordinate ?
...

Ja, so ist es. smile

mY+
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »