Irreduzibilität Reduktion

21.01.2024, 20:20	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibilität Reduktion Meine Frage: Ich verstehe die Lösung zu Aufgabe 7c (letzte Seite der pdf) nicht: https://www2.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2015/math/algebra1/sol05 In meinen Aufzeichnungen besagt das Reduktionskriterium lediglich, dass falls ein Polynom irreduzibel nach Reduktion mit Primzahl ist, so war das ursprüngliche Polynom ebenfalls irreduzibel (falls Grad bei Reduktion erhalten bleibt). Der folgende Satz der Lösung erschließt sich mir nicht ganz: "Also ist h entweder irreduzibel, oder es ist ein Produkt von irreduziblen Polynomen der Grade 2 und 3", ebenso dann natürlich warum dies ein Widerspruch zur Faktorisierung moulo 5 ist. Meine Ideen: ?
24.01.2024, 05:56	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Reduktion mod 3 ist ein Produkt zweier irreduzibler Polynome vom Grad 2 und 3. Das dir bekannte Kriterium sagt nun nichts aus - h könnte selbst irreduzibel sein oder ein Produkt von Irreduziblen vom Grad 2 oder 3 (letzteres folgt aus dem dir bekannten Kriterium). Im ersten Fall bist du ja schon fertig, also nimm den zweiten Fall an. Reduziere h nun mod 5. Dann erhältst du auch wieder ein Produkt von zwei Irreduziblen, Grad 4 und 1. Die Folgerung h sei irreduzibel ist nun direkt widersprüchlich zur Annahme, dass h sich in zwei Irreduzible vom Grad 2 und 3 zerlegt. Aus der Gestalt der Reduktion mod 5 folgt aus deinem Kriterium aber dann, dass h sich in zwei Irreduzible vom Grad 1 und 4 zerlegt. Auch dies ist widersprüchlich zur getroffenen Annahme. Somit bleibt nur, dass h selbst irreduzibel ist.
24.01.2024, 10:52	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal, jedoch liegt genau hier: " h könnte selbst irreduzibel sein oder ein Produkt von Irreduziblen vom Grad 2 oder 3 (letzteres folgt aus dem dir bekannten Kriterium)" mein Verständnisproblem.
27.01.2024, 10:56	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bezeichne für eine feste Primzahl $\begin{eqnarray} \ell \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \overline{\phantom{X}} ~:~ \mathbb{Z}[X] \to \mathbb{F}_\ell [X] \end{eqnarray}$ die Reduktion der Koeffizienten modulo $\begin{eqnarray} \ell \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} f\in\mathbb{Z}[X] \end{eqnarray}$ normiert, sodass irreduzible $\begin{eqnarray} p,q \in \mathbb{F}_\ell[X] \end{eqnarray}$ existieren mit $\begin{eqnarray} \overline{f}=pq \end{eqnarray}$ . Dann ist entweder $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ irreduzibel oder es existieren irreduzible $\begin{eqnarray} g,h \in \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f=gh \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \mathrm{Grad}(g) = \mathrm{Grad}(p) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathrm{Grad}(h) = \mathrm{Grad}(q) \end{eqnarray}$ . Um diese Oder-Aussage zu zeigen, nehmen wir an, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ reduzibel ist, und folgern die Existenz der beschriebenen Faktorisierung (es ist ja $\begin{eqnarray} x\vee y \end{eqnarray}$ logisch äquivalent zu $\begin{eqnarray} \neg x \Rightarrow y \end{eqnarray}$ ). Also können wir $\begin{eqnarray} f=gh \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g,h \in \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray}$ schreiben. 0) Wir können $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ als normiert annehmen. 1) $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ sind irreduzibel. Wären sie es nicht, so könnte ich $\begin{eqnarray} \overline{f}=pq \end{eqnarray}$ in mindestens drei Faktoren zerlegen. $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ sind aber irreduzibel, also kann das nicht passieren. 2) Es ist $\begin{eqnarray} \overline{g}\overline{h} = \overline{gh} = \overline {f} = pq \end{eqnarray}$ . Damit haben wir eine zweite Faktorisierung von $\begin{eqnarray} \overline{f} \end{eqnarray}$ . Wegen (0) haben $\begin{eqnarray} \overline{g} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline{h} \end{eqnarray}$ jeweils mindestens Grad 1 (sind also keine Einheiten). Es folgt $\begin{eqnarray} \{\overline{g}, \overline{h}\} = \{p,q\} \end{eqnarray}$ .

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