Exponentialfunktion-Vermehrung

23.01.2024, 22:46

Mathefreund10

Exponentialfunktion-Vermehrung

Hallo liebe Mathefreunde,

habe eine Frage:

Folgende Aufgabe:
Aus Amöbenzelle entstehen durch Zellteilung neue Zellen. Ihre Anzahl verdreifacht sich pro Tag. Berechne die Anzahl nach 6 Tagen.

Nun war mein Ansatz eine Funktionsgleichung zu finden:
f(x) = 3^x

3^0 wäre ja 1
3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27
usw.

Dann die Tage entsprechend für x einsetzen. Ist das richtig?
Ich finde die Aufgabenstellung in der Weise verwirrend, weil aus einer Amöbenzelle doch stets 2 neue Zellen entstehen oder sehe ich das falsch?

LG

23.01.2024, 23:07

Gruß

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RE: Exponentialfunktion-Vermehrung

Zitat:

Original von Mathefreund10
Ich finde die Aufgabenstellung in der Weise verwirrend, weil aus einer Amöbenzelle doch stets 2 neue Zellen entstehen oder sehe ich das falsch?

Das siehst du nicht falsch
Die Zellteilung braucht dann keinen ganzen Tag. Sondern wie lange?
$\begin{eqnarray*} Z=2^{\frac{ln3}{ln2} \frac{t}{d} } \end{eqnarray*}$

24.01.2024, 00:15

Mathefreund10

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Habe mal folgende Gleichung aufgestellt:

1 * 3^x =2

Nach x umgeformt: x = 0,631 Tage braucht die Zellteilung dann.
Also ist meine Gleichung: f(x= = 3^x richtig, oder?

Ich habe allerdings noch ein Problem beim Verstehen des Sachzusammenhangs.
Wie kann da eine ungerade Zahl rauskommen? 9, 27, etc?

24.01.2024, 02:29

mYthos

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Lasse dich nicht verwirren!
Pro Tag enstehen immer 3 mal soviele Zellen wie am Vortag.

Dass die Geburt von 2 Zellen bereits nach 0,631 Tagen erfolgt, ist zwar richtig, ist aber für diese Rechnung nicht weiter relevant.

Es kommt auf die Gesamtzahl der Zellen nach ganzen Tagen an.
Und diese ist nun mal eine 3er-Potenz und daher nicht gerade, wenn am ersten Tag mit nur einer Zelle begonnen wurde.
Wären am 1. Tag 2 Zellen vorhanden gewesen, wäre die Gesamtzahl doppelt so groß und damit gerade!

mY+

24.01.2024, 12:22

Gruß

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Zitat:

Original von Mathefreund10
Wie kann da eine ungerade Zahl rauskommen? 9, 27, etc?

Das ist offenbar ein biologisches Problem.
Wenn eine neue Zelle entstanden ist dann muss diese sich nicht sofort wieder teilen.
Es gibt also ein Zeitintervall in der sich die neue Zelle wieder teilt.
Das müsste man jetzt herausfinden was das für ein Zeitintervall ist.
Das ist dann Wahrscheinlichkeitsrechnung.

25.01.2024, 10:12

HAL 9000

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Gruß hat das richtig angesprochen:

Wenn man die Stochastik ins Spiel bringt, dann ist die Aussage "von einer Zelle ausgehend hat man nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ Tagen genau $\begin{eqnarray*} 3^t \end{eqnarray*}$ Zellen" höchst zweifelhaft.

Man muss sie dann eher so sehen: "Von $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ Zellen ausgehend gilt $\begin{eqnarray*} \frac{N(t)}{N_0}\approx 3^t \end{eqnarray*}$ für die nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ Tagen erreichte Zellanzahl $\begin{eqnarray*} N(t) \end{eqnarray*}$ " , und die Genauigkeit dieser Approximation ist umso besser, je größer die anfängliche Zellanzahl $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ ist (nach Zentralem Grenzwertsatz gilt für diese Genauigkeit $\begin{eqnarray*} \sim \frac{1}{\sqrt{N_0}} \end{eqnarray*}$ ).

Es ist dann also so, dass etwa von $\begin{eqnarray*} N_0=1\,000\,000 \end{eqnarray*}$ ausgehend es ungefähr 0,631 Tage dauert, bis man $\begin{eqnarray*} 2\,000\,000 \end{eqnarray*}$ Zellen erreicht hat.

D.h., die im mikroskopischen Maßstab zufällige Zellanzahl ist dann bei makroskopischer Betrachtung scheinbar deterministisch (eigentlich immer noch zufällig, aber mit extrem kleiner Varianz).

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