Lokale Extremstelle in (0,1) beweisen

24.01.2024, 11:58	Karaccan128	Auf diesen Beitrag antworten »
Lokale Extremstelle in (0,1) beweisen Meine Frage: Hallo, ich habe gerade ein Problem mit dieser aufgabe [attach]57497[/attach] [attach]57498[/attach] Undzwar weiß ich nicht genau, wie ich das lokale Extremum beweisen soll Meine Ideen: Ich brauche ja die erste Ableitung der Funktion. Daher habe ich sie gebildet und vereinfacht [attach]57499[/attach]. Ich müsste ja diese erste Ableitung gleich null setzen, wüsste aber leider nicht wie ich weitermachen soll. Die Aufgabe soll auch nicht mit einem Taschenrechner berechnet werden.
24.01.2024, 12:11	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lokale Extremstelle in (0,1) beweisen Willkommen im Matheboard! Der Zwischenwertsatz sollte helfen. Viele Grüße Steffen
24.01.2024, 13:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f\left(x\right) = x^3~e^{-x} + \sqrt{1+x^2}~e^x - 2x \end{eqnarray}$ ist sicher eine stetige Funktion. Als solche kann sie in $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ nur dann keine lokalen Extremwerte besitzen, wenn sie dort streng monoton verläuft. Das wiederum ist aber nicht der Fall wegen $\begin{eqnarray} f\left(0\right) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f\left(0.5\right) \approx 0.92 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f\left(1\right) \approx 2.21 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f\left(0\right) > f\left(0.5\right) < f\left(1\right) \end{eqnarray}$ . Sie besitzt daher (mindestens) ein lokales Minimum im Intervall $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ .

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