Anzahl der Nullstellen

26.01.2024, 00:28

metroid

Anzahl der Nullstellen

Hallo,

es geht um die Anzahl der Nullstellen für Funktionen vom Typ $\begin{eqnarray*} f_k(x)=2^x-kx \end{eqnarray*}$ .

Wenn man nun zunächst die Funktion für k=2 betrachtet, dann erkennt man leicht f(1)=f(2)=0.
Um zu begründen, dass in x=1 bzw. x=2 die einzigen Nullstellen sind, würde ich als Vorbemerkung erwähnen, dass $\begin{eqnarray*} g(x)=2^x>0 \end{eqnarray*}$ gilt und g(x) wegen g '(x)>0 streng monoton steigend ist.
Durch $\begin{eqnarray*} f_2'(x)=0 \end{eqnarray*}$ ergibt sich umgestellt die Gleichung $\begin{eqnarray*} 2^x=\frac{2}{ln(2)} \end{eqnarray*}$ , welche aufgrund der obigen Eigenschaften von g(x) genau eine Lösung $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ haben muss.
Wegen $\begin{eqnarray*} f_2''(x)=ln^2(2) \cdot 2^x>0 \end{eqnarray*}$ muss in $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$ ein lokaler bzw. wegen der Eindeutigkeit ein globaler Tiefpunkt sein.
Mehr als zwei Nullstellen kann es somit also nicht geben, da der Graph sein Steigungsverhalten dafür nochmal ändern müsste.

Meine Fragen wären :

1) Ist das eine angemessene Argumentation für k=2 ?

2) Kann man für k=3 ähnlich argumentieren, wobei man zusätzlich durch einen passenden Funktionswert wie z.B. $\begin{eqnarray*} f_3(1)=-1 \end{eqnarray*}$ klar stellt, dass der globale Tiefpunkt unterhalb der x-Achse liegen muss ?

3) Um den ganzzahligen Anteil der jeweiligen Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f_3(x) \end{eqnarray*}$ anzugeben, reicht da einfach ein Nachweis für ein Intervall der Länge 1 durch f(0)=1>0 und f(1)=-1<0 bzw f(3)=-1<0 und f(4)=4>0 ?

4) Im Aufgabentext wird der Mittelwertsatz vorgeschlagen, dessen sinnvollen Einsatz sehe ich hier jedoch nicht - wäre das hier sogar praktischer gewesen ?

26.01.2024, 09:01

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von metroid
Durch $\begin{eqnarray*} f_2'(x)=0 \end{eqnarray*}$ ergibt sich umgestellt die Gleichung $\begin{eqnarray*} 2^x=\frac{2}{ln(2)} \end{eqnarray*}$ , welche aufgrund der obigen Eigenschaften von g(x) genau eine Lösung $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ haben muss.

Warum so zaghaft: Für alle $\begin{eqnarray*} k>0 \end{eqnarray*}$ kann man ganz konkret ausrechnen $\begin{eqnarray*} x_0 = \log_2\left( \frac{k}{\ln(2)}\right) \end{eqnarray*}$ als lokale und zugleich globale Minimumstelle der Funktion $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ , hier für $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ . Aber unabhängig davon kann ich deine Frage 1) bejahen.

Die Anzahl der Nullstellen wird bestimmt durch den globalen Minimumwert $\begin{eqnarray*} y_0=f_k(x_0) \end{eqnarray*}$ der Funktion $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ :

a) Ist dieser positiv, so gibt es gar keine reelle Nullstelle.
b) Ist er Null, so gibt es genau eine solche Nullstelle.
c) Und ist er negativ, so gibt es schließlich genau zwei reelle Nullstellen, eine kleiner $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und die andere größer $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Was deine Frage 2) betrifft, so reicht es in diesem Fall $\begin{eqnarray*} y_0<0 \end{eqnarray*}$ auch aus, wenn man irgendein $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_k(x_1)<0 \end{eqnarray*}$ findet, ja.

Argumentation 3) ist auch Ok und im Zusammenhang mit dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen zu sehen. Der ist hier in der Tat nützlich, aber der Mittelwertsatz? Verstehe ich auch nicht ganz.

P.S.: Analysiert man das ganze genauer, so stellt man fest, dass der kritische Wert $\begin{eqnarray*} k^* = e\ln(2)\approx 1.884 \end{eqnarray*}$ ausschlaggebend für die Nullstellenanzahl ist:

Für $\begin{eqnarray*} 0\leq k<k^* \end{eqnarray*}$ tritt Fall a) ein, für $\begin{eqnarray*} k=k^* \end{eqnarray*}$ Fall b) und für $\begin{eqnarray*} k>k^* \end{eqnarray*}$ schließlich c).

Neue Frage »

Antworten »

Anzahl der Nullstellen

Verwandte Themen