Punkt auf Gerade mit festem Abstand

26.01.2024, 10:50

meiland

Punkt auf Gerade mit festem Abstand

Hallo,
ich bin im Koordinatensystem und habe 2 Punkte A und B. Diese ergeben eine Gerade(Geradengleichung).
Jetzt suche ich die Koordinaten eines Punktes C auf der Geraden mit einem bestimmten Abstand von A.

Irgendwie dachte ich eine Kombination von Pythagoras und Geradengleichung. Aber ich schaffe es leider nicht.
Vektorrechnung ist nicht meine Stärke.
Am Ende muss ich die Berechnung als Programmcode darstellen.

Vielen Dank.
Gruß Frank

26.01.2024, 10:57

Steffen Bühler

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RE: Punkt auf Gerade mit festem Abstand
Dein Ansatz ist gut!

Du hast also die Geradengleichung $\begin{eqnarray*} y=m \cdot x+n \end{eqnarray*}$ .

Und nach Pythagoras gilt $\begin{eqnarray*} (x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2=r^2 \end{eqnarray*}$ , dabei ist $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der von Dir gewünschte Abstand zwischen Punkt $\begin{eqnarray*} A = (x_A , y_A) \end{eqnarray*}$ und Punkt $\begin{eqnarray*} C = (x_C , y_C) \end{eqnarray*}$ .

Mit der Geradengleichung gilt dann $\begin{eqnarray*} y_C=m \cdot x_C+n \end{eqnarray*}$ .

Einsetzen, ausrechnen.

Viele Grüße
Steffen

26.01.2024, 12:44

meiland

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RE: Punkt auf Gerade mit festem Abstand

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Dein Ansatz ist gut!
Du hast also die Geradengleichung $\begin{eqnarray*} y=m \cdot x+n \end{eqnarray*}$ .
...

Hallo Steffen,
Danke für die schnelle Antwort.
Ich komme aber trotzdem nicht weiter.

Mein Beispiel: A(2,1), B(5,3) und r = 4
Es ergibt sich
m= 0,66
n= -0,33
In der Gleichung ersetze ich Yc durch: m * Xc + n = (0,66*Xc -0,33)
Jetzt müßte nach Xc aufgelöst werden ... Daran scheitere ich leider.

26.01.2024, 12:58

Steffen Bühler

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RE: Punkt auf Gerade mit festem Abstand
$\begin{eqnarray*} (x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} (x_C-x_A)^2+(m \cdot x_C+n -y_A)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

Binomische Formel:

$\begin{eqnarray*} \big(x_C^2-2x_Cx_A + x_A^2 \big)+ \big( m^2 \cdot x_C^2+2mx_C(n-y_A)+(n -y_A)^2 \big)=r^2 \end{eqnarray*}$

Und so weiter. Es läuft auf eine quadratische Gleichung raus. Wo gibt es Probleme?

26.01.2024, 15:53

mYthos

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Die obige Betrachtungsweise läuft auf die Berechnung der Schnittpunkte eines Kreises, Mittelpunkt A und Radius 4, mit der Geraden hinaus.
In Hinblick auf Einsatz der Vektorrechnung und späterer Programmierung wäre der vektorielle Weg ebenso in Betracht zu nehmen.
--------
Dazu berechne den normierten Richtungsvektor der Geraden!
Vermeide auch die Dezimalschreibweise in der Geradengleichung, das ist hier unlukrativ und wird auch ungenau, wenn man damit weiterrechnet!
Deshalb setze besser die Geradengleichung g: y = (2/3)x - 1/3 oder (in der Normalform: ) 2x - 3y = 1
Deren Normalvektor ist dann (2; -3), der Richtungsvektor (3; 2). (Diese Basics solltest du kennen)*

Nun ist letzterer zu normieren* (auf die Länge 1 bringen!) und zum Schluß dessen 4-faches von A aus in beide Richtungen zu addieren. Fertig!

(*)
Ist dir bekannt, wie all das funktioniert? Es gehört zu den Basics der Vektorrechnung.
Du kannst auch hier gerne nachfragen ...

mY+

26.01.2024, 17:15

meiland

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Allen vielen Dank. Ich werde die Hinweise sicher verwenden.

Im konkreten Fall werde ich mein Problem/Programm aber anders lösen.
1. Geradengleichung aufstellen
2. Berechnung von r mit Pythagoras
3. Berechnung eines Faktors, welcher die Längenänderung auf der Geraden in Bezug zur Änderung von deltaX ausdrückt. = r/deltaX(A - B)
4. der Abstand von A nach C geteilt durch meinen Faktor und ergibt deltaX(A - C)
5. Berechnung von y mit Geradengleichung

Ich hoffe, dass es so geht?
Dieser Weg ist für mich wesentlich einfacher und auch als Code umsetzbar.

Gruß Frank

26.01.2024, 17:30

Steffen Bühler

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Wow! Das ist wirklich elegant!

Viele Grüße
Steffen

26.01.2024, 20:43

mYthos

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Zitat:

Original von meiland
...
Im konkreten Fall werde ich mein Problem/Programm aber anders lösen.
1. Geradengleichung aufstellen
2. Berechnung von r mit Pythagoras
...

Ich verstehe schon deinen 2. Schritt nicht. Weshhalb berechnest du r, wobei doch - laut Angabentext - r (der Abstand AC) gegeben ist?

Wenn du mit r den Abstand AB meinst, solltest du diesen auch anders bezeichnen, z. B. mit d
Die weiteren Schritte führen dann zum gleichen Resutat wie bei der vorhin von mir gezeigten Methode und entsprechen dieser auch in den Details.
Denn bei der Normierung des Richtungsvektors AB wird ebenfalls durch seine Länge dividiert ....
In dem Sinne sind deine Ideen recht clever.

Übrigens muss dazu die Koordinatengleichung der Geraden nicht berechnet werden.
Es genügt die Kenntnis der Punkte A, B. Mit AC als Vielfaches des des Richtungsvektors (AB) liegt dann C ohnehin auch schon auf der Geraden.

Die Methode gehört zu den Standardaufgaben in der analytischen Geometrie und ja, wenn man so will, ist diese auch elegant Big Laugh

mY+

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