n-te Ableitung von ln(1+wurzel(ax)) bestimmen

27.01.2024, 14:08

KonstantinVariablix

n-te Ableitung von ln(1+wurzel(ax)) bestimmen

Meine Frage:
Komme bei der Bestimmung der n-ten Ableitung von ln(1+wurzel(ax)) leider nicht weiter.

Meine Ideen:
Mein Ansatz war, dass ich die Funktion drei mal ableite und dann nach einem Muster suche. Leider kann ich da überhaupt kein Muster erkennen, da die Funktion immer komplexer und unübersichtlicher wird.
f^1(x)= (a)^1/2 / 2((x)^1/2(1 + (ax)^1/2)
f^2(x)= -a(a/2(ax)^1/2 + a)/ 2((ax)^1/2 + ax)^2
f^3(x)= a^3(8(ax)^3/2 + 3(ax)^1/2 + 9ax)/ 8(ax)^3/2((ax)^1/2 + ax)^3

27.01.2024, 16:22

DrummerS

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

falls $\begin{eqnarray*} f \left(a,x\right) := \ln \left(1+\sqrt{a \cdot x}\right) \end{eqnarray*}$ gemeint sein soll, würde ich empfehlen abzuklären, ob z.B. nach a oder x abgeleitet werden soll. Ist daneben $\begin{eqnarray*} a \cdot x \geq 0 \end{eqnarray*}$ zu berücksichtigen?

Ich übergebe nun an andere Helfer.

Viel Erfolg!

27.01.2024, 17:02

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: n-te Ableitung von ln(1+wurzel(ax)) bestimmen
Ich bezwefile, dass es was "schönes" gibt. Wie du sagst, werden die Ableitungen immer unübersichtlicher. In welchem Kontext willst du das wissen?

Man könnte versuchen über Taylor sich an die Sache zu nähern. So ist
$\begin{eqnarray*} \ln(1+y) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac {y^k} k \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \ln(1+\sqrt{ax}) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac {(\sqrt{ax})^k} k \end{eqnarray*}$

Dann ist (erst einmal nur formal) $\begin{eqnarray*} \frac {\mathrm d} {\mathrm dx} \ln(1+\sqrt{ax}) =\frac {\mathrm d} {\mathrm dx} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac {(\sqrt{ax})^k} k = a\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} (\sqrt{ax})^{k-1} \cdot \frac 1 {2 \sqrt {ax}} = \frac a 2\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} (\sqrt{ax})^{k-2} \end{eqnarray*}$ .

Damit kriegt man "formal" eine Ableitung. Die Darstellung würde allerdings erst einmal nur für $\begin{eqnarray*} 0 < ax < 1 \end{eqnarray*}$ korrekt sein.

Edit: Guter Einwand, danke Romaxx! Ich habe mal den Laufindex (hoffentlich konsistent) durch $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ getauscht.

27.01.2024, 17:33

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DrummerS
...würde ich empfehlen abzuklären, ob z.B. nach a oder x abgeleitet werden soll...

Das spielt hier sicher keine große Rolle. Egal ob nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abgeleitet wird, erhält man aufgrund der Vertauschbarkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ den selben formalen Ausdruck.

@IfindU

$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als Laufindex der Reihe zu wählen, ist etwas unklug, verwirrt sicher nur.

17.02.2024, 20:46

DrummerS

Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen, abseits der Aufgabenstellung wird ein Rechteck mit den Seitenlängen a und x betrachtet. Die Seitenlänge eines flächeninhaltsgleichen Quadrats wäre $\begin{eqnarray*} y := \sqrt{ax} \end{eqnarray*}$ . Die Spezialfälle $\begin{eqnarray*} g \left(y\right):= \ln(1+y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{d^{n}g}{dy^{n}} = \frac{-1^{n+1} \cdot \left(n-1\right)!}{\left(y+1\right)^{n}} \end{eqnarray*}$ könnten als Beispiel für schöne Lösungen dienen.

Neue Frage »

Antworten »

n-te Ableitung von ln(1+wurzel(ax)) bestimmen

Verwandte Themen