Volumenberechnung

28.01.2024, 08:51

Cinzio22

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Volumenberechnung

Hallo miteinander

Ich habe ein wohl häufig auftretender Fehler gemacht und wollte das Volumen zwischen zwei Funktionsgraphen so berechnen:

$\begin{eqnarray*} \pi \cdot \int (f(x) - g(x))^2 dx \end{eqnarray*}$

Ich kriege hier ein Resultat - jedoch das falsch. Doch: Was habe ich damit "konkret" berechnet?

28.01.2024, 09:14

Bürgi

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RE: Volumenberechnung
Guten Morgen,

die von dir verwendete Formel berechnet das Rotationsvolumen, wobei die x-Achse die Rotationsachse ist.

Im Übrigen fehlen die Integrationsgrenzen.

28.01.2024, 09:39

Leopold

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Für $\begin{align*} 0 \leq g(x) \leq f(x) \end{align*}$ mit $\begin{align*} x \in [a,b] \end{align*}$ ist das Volumen, das man erhält, wenn die Fläche zwischen den Graphen von $\begin{align*} g \end{align*}$ und $\begin{align*} f \end{align*}$ um die $\begin{align*} x \end{align*}$ -Achse rotiert:

$\begin{align*} V = \pi \int_a^b \left( f(x) \right)^2 ~ \dd x - \pi \int_a^b \left( g(x) \right)^2 ~ \dd x \ = \ \pi \int_a^b \left( \left( f(x) \right)^2 - \left( g(x) \right)^2 \right) ~ \dd x \end{align*}$

Dein Quadrat steht also an der falschen Stelle:

$\begin{align*} A^2 - B^2 \neq (A-B)^2 \end{align*}$

28.01.2024, 09:55

Romaxx

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Der Fragesteller hat schon klar zu verstehen gegeben, dass an seiner Formel etwas falsch ist. Er hat explizit gefragt, was denn die Formel $\begin{eqnarray*} \pi \cdot \int (f(x) - g(x))^2 dx \end{eqnarray*}$ bedeuten kann:

"Doch: Was habe ich damit "konkret" berechnet?"

Es steht nun

$\begin{eqnarray*} \pi \cdot \int_a^b (f(x) - c)^2 dx \end{eqnarray*}$

für das Rotationsvolumen um die Achse $\begin{eqnarray*} y=c \end{eqnarray*}$ .

Daraus kann nun geschlussfolgert werden, dass die Formel des Fragestellers wohl das Rotationsvolumen um die sich verändernde Achse $\begin{eqnarray*} y=g(x) \end{eqnarray*}$ berechnet.

28.01.2024, 10:26

Conny_1729

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Zitat:

Original von Romaxx
Daraus kann nun geschlussfolgert werden, dass die Formel des Fragestellers wohl das Rotationsvolumen um die sich verändernde Achse $\begin{eqnarray*} y=g(x) \end{eqnarray*}$ berechnet.

Vielleicht sollte noch erwähnt werden, dass die Rotation trotzdem weiterhin achsparallel zur X-Achse erfolgt. Die Funktion g(x) ist daher weniger eine Funktion einer Rotationsachse, sondern beschreibt eher eine "Führungskurve" für das Rotieren um ein Stützelement, welches stets parallel zur X-Achse orientiert ist. Wenn z.B. g(x) = x sein würde, dann wird also NICHT um eine 45°-Gerade rotiert!

Gruß Conny.

28.01.2024, 10:34

Romaxx

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Danke Conny_1729 für diese Ergänzung.

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28.01.2024, 20:25

Cinzio22

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Hallo miteinander

Vielen Dank für eure Antworten.

Ja genau, konkret ging es mir um den Unterschied zwischen

a) $\begin{eqnarray*} \pi \cdot \int_0^4 (f(x))^2 dx - \pi \cdot \int_0^4 (g(x))^2 dx \end{eqnarray*}$

und

b) $\begin{eqnarray*} \pi \cdot \int_0^4 (f(x) - g(x))^2 dx \end{eqnarray*}$

29.01.2024, 08:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Romaxx
dass die Formel des Fragestellers wohl das Rotationsvolumen um die sich verändernde Achse $\begin{eqnarray*} y=g(x) \end{eqnarray*}$ berechnet.

Mir fällt es ehrlich gesagt schwer vorzustellen, was es überhaupt geometrisch bedeuten soll, dass der Graph von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ um den von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ rotiert, in dem Fall dass $\begin{eqnarray*} y=g(x) \end{eqnarray*}$ KEINE Gerade darstellt...

29.01.2024, 17:35

Romaxx

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@HAL 9000:
Ich gehe jetzt einfach davon aus, du hast den Beitrag von Conny_1729 nicht gelesen, ansonsten wäre alles klar:

Rotation um die Achse, die parallel zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse durch den Punkt $\begin{eqnarray*} (x,g(x)) \end{eqnarray*}$ verläuft.

Und ja, ich habe mich in dem von dir zitierten Satz undeutlich ausgedrückt.

Edit: mathematisch, formal korrekte Schreibweise von Punkt.

29.01.2024, 18:16

Conny_1729

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Hallo,
ich habe mal zwei Bilder angefügt, die den Unterschied vielleicht besser zeigen.
Wenn eine Funktion f, wie in diesem Fall, in Bezug zu einer beliebigen „Achskurve“ rotiert werden soll, dann geht das nur, indem jeder einzelne Punkt von f(x) eine gesonderte Rotation um eine Horizontale ausführt, die durch den korrespondierenden Punkt g(x) verläuft. Oder anders ausgedrückt: Die variierenden und senkrechten Kreisquerschnitte mit Radius r(x) = f(x) – g(x), deren Mittelpunkte auf g liegen, werden über eine Translationsbewegung entlang der „Achskurve“ geführt und erzeugen das Volumen.

Im Unterschied dazu gibt es dann auch noch die Rotation der einzelnen Punkte von f um die Tangenten von g. Durch den Tangentenpunkt g(a) geht dann eine Normale, die f an der Stelle b (hoffentlich eindeutig) schneidet. Der Punkt f(b) wird dann um die Tangente von g(a) rotiert. Oder anders ausgedrückt: Die variierenden Kreisquerschnitte, deren Mittelpunkte auf g liegen und deren Querschnittsebenen sich senkrecht zu g befinden, bilden entlang dieser „Achskurve“ ein Volumen. Bei dieser Art Konstrukt können durchaus mal „abenteuerliche Volumina“ entstehen, je nach dem wie f(x) bzgl. g(x) aussieht.

aus der Praxis gesprochen:
Als Industrieanwendung ist mir sogar mal ein Maschinenbauteil begegnet, das sogar beide Rotationsarten in einem aufzeigte. Es handelte sich dabei um einen sogenannten „Biegedorn“, der so ähnlich aussah wie ein gigantisches Füllhorn aus Stahl (über 400 kg!!!). An der verjüngten Seite wurde zuerst achsparallel rotiert bis schließlich im Bereich der größeren Kreisquerschnitte um die Tangenten der „Achskurve“ rotiert wurde.

Gruß Conny
.

30.01.2024, 11:39

Leopold

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Zitat:

Original von Romaxx
Rotation um die Achse, die parallel zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse durch den Punkt $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ verläuft

Nun ja...

30.01.2024, 12:05

HAL 9000

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Hier werden ja einige Haken und Ösen schlagende geometrische Interpretationen gesucht (und ich habe die Beiträge trotz anders lautender Unterstellung sehr wohl gelesen).

Ich würde es am ehesten so erklären: Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$ wird um die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse rotiert und der entstehende Körper dann um $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ (also abhängig von der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Koordinate) in $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Richtung "gestaffelt" verschoben. D.h. der Rotationskörper besteht aus

$\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y,z)\in [x_1,x_2]\times \mathbb{R}^2 \mid (y-g(x))^2 + z^2 \leq (f(x)-g(x))^2 \right\} \end{eqnarray*}$

Naja, kann man machen, und das Volumen ist nach Cavalieri gleich dem des unverschobenen Rotationskörpers. Aber irgendwie inkonsequent: Warum nur Verschiebung in $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ - und nicht auch noch in $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Richung, wie z.B. bei einer Helix? Also sowas wie

$\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y,z)\in [x_1,x_2]\times \mathbb{R}^2 \mid (y-g(x))^2 + (z-h(x))^2 \leq (f(x)-g(x))^2 \right\} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Conny_1729
Wenn z.B. g(x) = x sein würde, dann wird also NICHT um eine 45°-Gerade rotiert!

Eben dieses Beispiel zeigt, dass die saloppe Kennzeichnung "f wird um g rotiert" irreführend ist. Der Rotationskörper, der bei dieser Drehung um die 45°-Gerade entsteht, wird ja gerade nicht durch $\begin{eqnarray*} \int \left(f(x)-g(x)\right)^2 ~ \dd x \end{eqnarray*}$ richtig beschrieben. unglücklich

unglücklich

30.01.2024, 12:10

Leopold

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[attach]57507[/attach]

Die markierten Flächen haben denselben Inhalt. Denn Schnitte senkrecht zur x-Achse schneiden auf jedem Niveau aus beiden Flächen gleich lange Strecken aus (Prinzip von Cavalieri). Dennoch sind die Körper, die bei Rotation um die x-Achse entstehen, unterschiedlich, die obere Fläche legt bei der Rotation einen wesentlichen größeren Weg zurück. Das ist der Unterschied von

$\begin{align*} \pi \int_a^b \left( \left( f(x) \right)^2 - \left( g(x) \right)^2 \right) ~ \dd x \end{align*}$

und

$\begin{align*} \pi \int_a^b \left( f(x) - g(x) \right)^2 ~ \dd x \end{align*}$

30.01.2024, 21:06

Romaxx

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Romaxx
Rotation um die Achse, die parallel zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse durch den Punkt $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ verläuft

Nun ja...

Und damit soll man etwas anfangen? unglücklich

unglücklich

Ich erkläre mich etwas genauer. Man kann das Integral umschreiben in die Reihendarstellung (Riemannsumme für $\begin{eqnarray*} i\to\infty \end{eqnarray*}$ ) für $\begin{eqnarray*} t_i\in[x_{i-1},x_i] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} i=1,\dots,\infty \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \pi \int_a^b \left( f(x) - g(x) \right)^2 ~ \dd x=\pi\sum_{i=1}^\infty \left( f(t_i) - g(t_i) \right)^2(x_{i}-x_{i-1})=\sum_{i=1}^\infty\pi r_{t_i}^2 h \end{eqnarray*}$

Letzteres ist die Summation von Zylindervolumina, deren bekannte Formel gerade $\begin{eqnarray*} \pi r^2 h \end{eqnarray*}$ ist, mit $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der Radius und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ der Höhe.

31.01.2024, 09:41

Cinzio22

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Hallo miteinander

Vielen Dank für die zahlreichen Antworten, und entschuldigt bitte... eine dermassen grosse Diskussion wollte ich nicht lostreten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Weil ich den Überblick ein wenig verloren habe, darf ich nochmals rekapitulieren?

f(x) = sqrt(2x)
g(x) = sqrt(x)

a) Mit dem Ansatz (a) (siehe mein letzter Beitrag) wird das "korrekte" Rotationsvolumen zwischen f und g berechnet (zwischen 0 und 4), wenn man die Fläche dazwischen um die x-Achse rotieren lässt.

b) Mit dem Ansatz (b) wird ........................... berechnet.
--> Das ist mir nach wie vor nicht so klar, was hiermit berechnet wird. Jedenfalls stimmen die numerischen Werte von (a) und (b) sicherlich nicht überein, also wird mit (b) etwas "falsches" berechnet.

31.01.2024, 15:29

HAL 9000

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Ich versuche es nochmal zusammenzufassen:

Mit Ansatz (b) wird auf jeden Fall das Volumen eines Rotationskörpers der Funktion $\begin{eqnarray*} |f(x)-g(x)| \end{eqnarray*}$ bestimmt, Punkt. Ob man nun genau diesen Körper gemeint hat, oder - wie Conny_1729 es so schön illustriert hat (und ich formelmäßig beschrieben habe) - einen lokal unterschiedlich (nämlich um die Offsets g(x)) "verschobenen" Körper, das ist was den bloßen Volumenwert betrifft gemäß Prinzip von Cavalieri egal.

31.01.2024, 15:41

Leopold

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Meine Graphik zeigt anschaulich, was berechnet wird. Einmal rotiert die Fläche weiter oben um die x-Achse (1. Integral in meinem Beitrag), einmal die Fläche, die direkt auf der x-Achse sitzt (2. Integral in meinem Beitrag).

Oder nehmen wir das simpelste aller Beispiele: konstante Funktionen. Sie erzeugen Zylinder.

$\begin{align*} f(x) = 5 \, , \ \ g(x) = 3 \, ; \ \ x \in [0,8] \end{align*}$

Zunächst die untere Fläche zwischen dem Graphen von $\begin{align*} f-g \end{align*}$ und der x-Achse: $\begin{align*} f(x)-g(x) = 5-3 = 2 \end{align*}$ . Bei Rotation um die x-Achse entsteht ein Zylinder der Höhe $\begin{align*} h=8 \end{align*}$ (Intervallbreite) mit Radius $\begin{align*} r=2 \end{align*}$ (Funktionswert). Er besitzt das Volumen $\begin{align*} =V_{f-g} =\pi r^2 h = 32 \pi \end{align*}$

Jetzt die obere Fläche zwischen den beiden Graphen von $\begin{align*} g \end{align*}$ und $\begin{align*} f \end{align*}$ . Durch $\begin{align*} f \end{align*}$ wird ein Zylinder der Höhe $\begin{align*} h=8 \end{align*}$ mit Radius $\begin{align*} r_f = 5 \end{align*}$ erzeugt. Volumen: $\begin{align*} V_f = \pi {r_f}^2 h = 200 \pi \end{align*}$ .
Durch $\begin{align*} g \end{align*}$ wird ein Zylinder der Höhe $\begin{align*} h=8 \end{align*}$ mit Radius $\begin{align*} r_g = 3 \end{align*}$ erzeugt. Er besitzt das Volumen $\begin{align*} V_g = \pi {r_g}^2 h = 72 \pi \end{align*}$ .
Die Fläche zwischen den Graphen von $\begin{align*} g \end{align*}$ und $\begin{align*} f \end{align*}$ erzeugt bei Rotation den Bereich zwischen den beiden Zylindermänteln. Sein Volumen ist die Differenz der beiden Zylindervolumina: $\begin{align*} V = V_f - V_g = 200 \pi - 72 \pi = 128 \pi \end{align*}$

31.01.2024, 18:49

Leopold

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Zitat:

Original von Romaxx

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Romaxx
Rotation um die Achse, die parallel zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse durch den Punkt $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ verläuft

Nun ja...

Und damit soll man etwas anfangen? unglücklich

unglücklich

Eigentlich wollte ich dich zum Nachdenken bringen. Es scheint nur nicht funktioniert zu haben. Dein Satz ist einfach nur... – nein, ich sage das Wort nicht, weil ich es vorziehe zu argumentieren statt herabzusetzen.

Eine Achse ist eine Gerade. Die kann sehr wohl parallel zur x-Achse sein und durch einen festen Punkt gehen. Nur ist g(x) kein Punkt, sondern eine Funktion. Der Satz ergibt damit keinen Sinn. Vielleicht hast du irgendein anderes Bild im Kopf. Dann ist es dir nicht gelungen, dieses Bild mit der Sprache der Mathematik korrekt zu beschreiben.

Nun ja...

31.01.2024, 19:04

Romaxx

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Zitat:

Original von Leopold
... Nur ist g(x) kein Punkt, sondern eine Funktion. Der Satz ergibt damit keinen Sinn. ...

Da hast du vollkommen recht. Ich meinte den Punkt $\begin{eqnarray*} (x,g(x)) \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ . Endlich weiss ich, was dich gewurmt hat. Das es aber das war, hat mich dann doch gewundert. Ich muss dir da Recht geben, Mathematik ist eben auch eine formale Sprache, Chapeau!

Kennst du das:

"Ehct ksras! Gmäeß eneir Sutide eneir Uvinisterät, ist es nchit witihcg, in wlecehr Rneflogheie die Bstachuebn in eneim Wort snid, das ezniige was wcthiig ist, das der estre und der leztte Bstabchue an der ritihcegn Pstoiin snid."

Soll ich jetzt jeden Rechtschreibfehler oder Zahlendreher anprangern, weil ich davon ausgehen muss, man versteht nicht, was gemeint ist?

Ist im besagten Post jetzt korrigiert!

Achso, übrigens, $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ ist keine Funktion, sondern ein Funktionswert. Die Funktion ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ . unglücklich

unglücklich

31.01.2024, 22:49

Leopold

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Alles Darumherumreden hilft nichts. Und mit Ironie kann man mathematische Inkorrektheiten nicht wegretuschieren. Sie ist nur selbstentlarvend. Ablenkungsmanöver durchschaut.

Es gibt wohl für jedes feste $\begin{align*} x \end{align*}$ eine Parallele durch den Punkt $\begin{align*} \left( x , g(x) \right) \end{align*}$ . Da es sich bei $\begin{align*} x \end{align*}$ aber um eine ein Intervall durchlaufende Variable handelt, geht es nicht um einen konkreten Punkt, sondern um die Menge aller dieser Punkte $\begin{align*} \left( x , g(x) \right) \end{align*}$ , mithin um den Graphen von $\begin{align*} g \end{align*}$ . Wie nun eine zur x-Achse parallele Gerade durch alle Graphenpunkte gehen soll, wenn $\begin{align*} g \end{align*}$ nicht gerade eine konstante Funktion ist, wirst du uns wohl noch erklären müssen. Versuch doch einfach mal, die Variablen deiner Aussage korrekt zu quantifizieren. Nein, versuch es nicht, du wirst scheitern. Deine Visionen gibt es vielleicht in der wundersamen Welt des M. C. Escher, aber nicht in der Analysis des dreidimensionalen euklidischen Raumes. Wenn du uns ein Escher-Bild malen willst, dann nur zu. Ich liebe diese Welten. Hat aber dann nichts mehr mit der vorliegenden Aufgabe zu tun.

01.02.2024, 00:04

Romaxx

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Lieber Leopold, wir springen gerade hin und her. Erst dachte ich, mit Punkt $\begin{eqnarray*} (x,g(x)) \end{eqnarray*}$ wäre die Sache aus der Welt, das da noch mehr kommt, alle Achtung, warum so zögerlich? Ich tuschiere gar nichts, ich bin an einer offenen Diskussion interessiert, die vielmehr du durch dein kurz angebundenes "Nun ja..." und dein zögerliches Auftreten torpedierst.

Zitat:

Wie nun eine zur x-Achse parallele Gerade durch alle Graphenpunkte gehen soll, wenngnicht gerade eine konstante Funktion ist, wirst du uns wohl noch erklären müssen.

Das habe ich nirgends behauptet. Es soll nicht eine Achse durch alle Graphenpunkte simultan gehen, sondern viele verschiedene Achsen über das Kontinuum $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ . Lies dir den Beitrag von Conny_1729 28.01.2024 11:26 durch, sie hat das sehr schön beschrieben. Der Graph dient als Führungskurve dieser Achsen.

Ich verweise weiterhin auf meine Darstellung der unendlichen Riemannsumme, vorgestern um 22:06. Du wirst nicht umher kommen, einzusehen, dass sich das Volumen genauso ergibt, wie von mir dort beschrieben. Beginnend aus endlich vielen Zylindervolumina, die sich ergeben als Rotation von $\begin{eqnarray*} f(t_i) \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ im Interval $\begin{eqnarray*} [x_{i-1},x_i] \end{eqnarray*}$ , jeweils um die Achse, welche parallel zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse durch den Punkt $\begin{eqnarray*} (t_i,g(t_i)) \end{eqnarray*}$ verläuft, über die Strecke als Intervall $\begin{eqnarray*} [x_{i-1},x_i] \end{eqnarray*}$ , bis ins unendlich Granulare.

Ich weiss nicht, was daran nicht zu verstehen ist. Wo hakt es da bei dir?

01.02.2024, 07:06

Leopold

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Daß das Prinzip von Cavalieri, das HAL (dreidimensional) und ich selbst (zweidimensional), sogar mit Zeichnung, angesprochen haben, auch erlaubt, die Querschnittsflächen eines Rotationskörpers von der Rotationsachse senkrecht zu dieser so zu verschieben, daß die Mittelpunkte der Querschnittskreise eine Kurve bilden (wie es auch Connys Bilder illustrieren), ist doch vollkommen klar. Dafür brauche ich keinen Beweis mit Riemann-Summen oder Ähnlichem. Nur muß man das dann auch so sagen und kann nicht von einer "Rotationsachse" oder wie gerade jetzt von "unendlich vielen Rotationsachsen" oder einem "Punkt g(x)" sprechen, weil das schlicht die falschen Fachbegriffe sind. Und da hilft auch das nette Beispiel mit der Universitätsstudie nicht. Prinzip von Cavalieri: das ist das richtige Stichwort. Das Prinzip wird schon in der Schule auf anschaulichem Weg eingeführt. Und Connys "Führungskurve" ist eine passende Bezeichnung, egal, ob das nun ein Fach- oder ein Stegreifbegriff ist.

Halten wir also fest: Du hast immer das Richtige gemeint.

Nun ja...

Du hast es nur nicht so gesagt.

Aber gemeinsam haben wir das nun hinbekommen. Das ist doch ein toller Erfolg.

01.02.2024, 16:52

Romaxx

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Ich versuche mich in Zukunft unzweifelhafter/deutlicher auszudrücken. Freude

Freude

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