Gleichung eines reellen Polynoms kleinsten Grades bestimmen

28.01.2024, 10:38

FriederLampenfieber

Gleichung eines reellen Polynoms kleinsten Grades bestimmen

Meine Frage:
Benötige Hilfe bei der Formulierung der Bedienungen.

Fragestellung:
Geben sie die Gleichung eines reellen Polynoms kleinsten Grades an, welches die folgenden Eigenschaften besitzt:

1.Die Funktionskurve geht durch den Ursprung des KS
2.Das Polynom besitzt ein lokales Maximum an der Stelle x=1
3.Die Funktionskurve besitzt einen Wendepunkt W an der Stelle x=1
4.Die Tangente an der Funktionskurve im Punkt W geht durch den Punkt (4,-2)

Meine Ideen:
Da ein Wendepunkt vorhanden ist gehe ich von einem Polynom 3. Grades aus, also f(x)= ax^3+bx^2+cx+d

Bedingungen:
(1) f(0)=0
(2) f´(1)=0
(3) f´´(2)=0

Für die vierte Bedingung fehlt mir allerdings der Ansatz, da ich keinen Anhaltspunkt habe, in welchem Punkt die Tangente die Funktionskurve berührt und daher keine Steigung bei x=2 als Bedingung definieren kann.

28.01.2024, 11:37

sportler

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Zitat:

3.Die Funktionskurve besitzt einen Wendepunkt W an der Stelle x=1

Nicht eher x=2 ?

Zitat:

4.Die Tangente an der Funktionskurve im Punkt W geht durch den Punkt (4,-2)

Die Steigung in der Wendestelle x=2 entspricht also der Steigung einer Geraden t, die durch die Punkte W(2|f(2)) und U(4|-2) verläuft.
Daraus lässt sich eine weitere Gleichung aufstellen.

28.01.2024, 12:07

nichteuerernst

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RE: Gleichung eines reellen Polynoms kleinsten Grades bestimmen

Zitat:

3.Die Funktionskurve besitzt einen Wendepunkt W an der Stelle x=1

Also ist der Wendepunkt der Punkt W(1|a+b+c+d)

Zitat:

4.Die Tangente an der Funktionskurve im Punkt W geht durch den Punkt (4,-2)

Also hat sie den Anstieg $\begin{eqnarray*} \frac{(a+b+c+d)-(-2)}{1-4} \end{eqnarray*}$ und stimmt mit der 1. Ableitung der Wendestelle (und die ist 3a+2b+c) überein.

Aber eigentlich kann das nicht sein, denn angeblich ist x=1 sowohl Extrem- als auch Wendestelle.

28.01.2024, 12:08

Leopold

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So sieht's aus, wenn's fertig ist.

[attach]57501[/attach]

28.01.2024, 12:26

Leopold

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Mein Vorschlag ginge so. Man kann die Bedingung (1) gleich einbauen und hat dann mit reellen Parametern $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ den Ansatz

$\begin{align*} f(x) = ax^3 + bx^2 + cx \end{align*}$

Die Bedingungen (2) und (3) liefern ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in drei Unbekannten. Mit (3) drückt man zunächst $\begin{align*} b \end{align*}$ , mit (2) und (3) schließlich $\begin{align*} c \end{align*}$ allein durch $\begin{align*} a \end{align*}$ aus. Die Ausdrücke für $\begin{align*} b \end{align*}$ und $\begin{align*} c \end{align*}$ setzt man in den Ansatz ein, der jetzt nur noch den Parameter $\begin{align*} a \end{align*}$ enthält.

Nun bestimmt man die Gleichung der Wendetangenten für die Wendestelle $\begin{align*} x=2 \end{align*}$ mit einem beliebigen Parameter $\begin{align*} a \end{align*}$ . Eine Punktprobe an der Wendetangenten für den Punkt $\begin{align*} (4,-2) \end{align*}$ liefert schließlich den fehlenden Wert für $\begin{align*} a \end{align*}$ .

@ nichteuerernst
Die Wendestelle befindet sich bei $\begin{align*} x=2 \end{align*}$ , wie man aus (3) von FriederLampenfieber entnehmen kann. In seinem einleitenden Text ist das bei 3. falsch.

28.01.2024, 13:38

FriederLampenfieber1

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Super vielen Dank!
Klar sorry die Wendestelle ist bei x=2.

Habe nun die Bedingungen (2) nach c und (3) nach b umgestellt und dann den Ansatz allein mit a ausgedrückt => f(x)= ax^3-6ax^2+9ax.

Tangentengleichung aufgestellt: t(x)=f´(x0)(x-x0)+f(x0) => t(x)=-3a(x-2)+2a => -2=-3a*4+8a => a=1/2
und dadruch: b=-3 und c=9/2 erhalten => f(x)= 1/2x^3-3x^2+9/2x

28.01.2024, 15:12

sportler

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Zitat:

Die Steigung in der Wendestelle x=2 entspricht also der Steigung einer Geraden t, die durch die Punkte W(2|f(2)) und U(4|-2) verläuft. Daraus lässt sich eine weitere Gleichung aufstellen.

Alternativ führt dies zur Gleichung $\begin{eqnarray*} f'(2)=\frac{f(2)-(-2)}{2-4} \end{eqnarray*}$ und eingesetzt mit d=0 zu :

$\begin{eqnarray*} 12a+4b+c=\frac{8a+4b+2c+2}{-2} \end{eqnarray*}$

Etwas umgeformt folgt

$\begin{eqnarray*} 16a+6b+2c=-1 \end{eqnarray*}$

Und mit den anderen beiden Gleichungen zu f '(1)=0 bzw. f ''(2)=0 entsteht dann ein LGS aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

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