Gleichung eines reellen Polynoms kleinsten Grades bestimmen

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FriederLampenfieber Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung eines reellen Polynoms kleinsten Grades bestimmen
Meine Frage:
Benötige Hilfe bei der Formulierung der Bedienungen.

Fragestellung:
Geben sie die Gleichung eines reellen Polynoms kleinsten Grades an, welches die folgenden Eigenschaften besitzt:

1.Die Funktionskurve geht durch den Ursprung des KS
2.Das Polynom besitzt ein lokales Maximum an der Stelle x=1
3.Die Funktionskurve besitzt einen Wendepunkt W an der Stelle x=1
4.Die Tangente an der Funktionskurve im Punkt W geht durch den Punkt (4,-2)

Meine Ideen:
Da ein Wendepunkt vorhanden ist gehe ich von einem Polynom 3. Grades aus, also f(x)= ax^3+bx^2+cx+d

Bedingungen:
(1) f(0)=0
(2) f´(1)=0
(3) f´´(2)=0

Für die vierte Bedingung fehlt mir allerdings der Ansatz, da ich keinen Anhaltspunkt habe, in welchem Punkt die Tangente die Funktionskurve berührt und daher keine Steigung bei x=2 als Bedingung definieren kann.
sportler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
3.Die Funktionskurve besitzt einen Wendepunkt W an der Stelle x=1


Nicht eher x=2 ?

Zitat:
4.Die Tangente an der Funktionskurve im Punkt W geht durch den Punkt (4,-2)


Die Steigung in der Wendestelle x=2 entspricht also der Steigung einer Geraden t, die durch die Punkte W(2|f(2)) und U(4|-2) verläuft.
Daraus lässt sich eine weitere Gleichung aufstellen.
nichteuerernst Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung eines reellen Polynoms kleinsten Grades bestimmen
Zitat:
3.Die Funktionskurve besitzt einen Wendepunkt W an der Stelle x=1


Also ist der Wendepunkt der Punkt W(1|a+b+c+d)

Zitat:
4.Die Tangente an der Funktionskurve im Punkt W geht durch den Punkt (4,-2)

Also hat sie den Anstieg und stimmt mit der 1. Ableitung der Wendestelle (und die ist 3a+2b+c) überein.

Aber eigentlich kann das nicht sein, denn angeblich ist x=1 sowohl Extrem- als auch Wendestelle.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So sieht's aus, wenn's fertig ist.

[attach]57501[/attach]
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Vorschlag ginge so. Man kann die Bedingung (1) gleich einbauen und hat dann mit reellen Parametern den Ansatz



Die Bedingungen (2) und (3) liefern ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in drei Unbekannten. Mit (3) drückt man zunächst , mit (2) und (3) schließlich allein durch aus. Die Ausdrücke für und setzt man in den Ansatz ein, der jetzt nur noch den Parameter enthält.

Nun bestimmt man die Gleichung der Wendetangenten für die Wendestelle mit einem beliebigen Parameter . Eine Punktprobe an der Wendetangenten für den Punkt liefert schließlich den fehlenden Wert für .

@ nichteuerernst
Die Wendestelle befindet sich bei , wie man aus (3) von FriederLampenfieber entnehmen kann. In seinem einleitenden Text ist das bei 3. falsch.
FriederLampenfieber1 Auf diesen Beitrag antworten »

Super vielen Dank!
Klar sorry die Wendestelle ist bei x=2.

Habe nun die Bedingungen (2) nach c und (3) nach b umgestellt und dann den Ansatz allein mit a ausgedrückt => f(x)= ax^3-6ax^2+9ax.

Tangentengleichung aufgestellt: t(x)=f´(x0)(x-x0)+f(x0) => t(x)=-3a(x-2)+2a => -2=-3a*4+8a => a=1/2
und dadruch: b=-3 und c=9/2 erhalten => f(x)= 1/2x^3-3x^2+9/2x
 
 
sportler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Steigung in der Wendestelle x=2 entspricht also der Steigung einer Geraden t, die durch die Punkte W(2|f(2)) und U(4|-2) verläuft. Daraus lässt sich eine weitere Gleichung aufstellen.


Alternativ führt dies zur Gleichung und eingesetzt mit d=0 zu :



Etwas umgeformt folgt



Und mit den anderen beiden Gleichungen zu f '(1)=0 bzw. f ''(2)=0 entsteht dann ein LGS aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
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