Ring Homomorphismus

28.01.2024, 18:51	Terminologie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ring Homomorphismus Hallo, Die Abbildung $\begin{eqnarray} \pi : R \rightarrow R/I \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \pi(r) = r + I \end{eqnarray}$ ist ein Ring Homomorphismus. Ich wollte das beweisen und habe eine Frage dazu, wie man speziell $\begin{eqnarray} \pi(1) = 1 \end{eqnarray}$ zeigt? Den Rest schaffe ich. Wir haben doch $\begin{eqnarray} \pi(1) = 1 + I \end{eqnarray}$ , aber wie folgt daraus, dass $\begin{eqnarray} \pi(1) = 1 \end{eqnarray}$ ? Danke!
28.01.2024, 19:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1+I \end{eqnarray}$ ist wegen $\begin{eqnarray} (1+I)\cdot (a+I)=1\cdot a+I=a+I\, (\forall a\in R) \end{eqnarray}$ das Einselement im Faktorring $\begin{eqnarray} R/I \end{eqnarray}$ .
28.01.2024, 20:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Elvis ist es natürlich glasklar, zum Anfang bietet es sich aber an sich zu notieren was "1" heißt, insb. wenn man damit verschiedene Elemente gleichzeitig meint. Wir haben eine $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ , d.h. ein neutrales Element in $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ und wir haben eine $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} R / I \end{eqnarray}$ . Um es sich deutlicher zu machen sei $\begin{eqnarray} 1_R \end{eqnarray}$ das neutrale Element in $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1_{R/I} \end{eqnarray}$ das neutrale Element in $\begin{eqnarray} R/I \end{eqnarray}$ . Was Elvis nun gezeigt hat, ist dass $\begin{eqnarray} 1_{R/I} = 1_R + I \end{eqnarray}$ . Und $\begin{eqnarray} \pi(1)=1 \end{eqnarray}$ , die kritische Gleichheit, meint genauer $\begin{eqnarray} \pi (1_R) = 1_{R/I} \end{eqnarray}$ . Zusammen folgt es dann.

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