Normalableitung auf Kurve im Komplexen

29.01.2024, 19:14	SebZ	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalableitung auf Kurve im Komplexen Schönen guten Abend zusammen, aktuell versuche ich eine Aussage, in meinem Falle eine wichtige mathematische Identität, zu zeigen. Leider komme ich nicht darauf, dazu unten mehr. Vorab möchte ich erwähnen, dass ich Ingenieur bin, jedoch im Bereich der angewandten Mathematik arbeite. Dabei bin ich innerhalb der komplexen Analysis nicht komplett neu, als Experten würde ich mich aber nicht bezeichnen. Dieser Hintergrund erklärt möglicherweise einige Unsicherheiten die ich habe und auf die ich im Folgenden eingehen möchte. ---------------------------------------------- Nun aber zum Thema: Es sei $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ eine komplexe Funktion, mit $\begin{eqnarray} z = x + i y \end{eqnarray}$ . Diese Funktion sei analytisch im Kreis $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ . Daneben gilt, dass $\begin{eqnarray} \Im[f(z)] = const. \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} z \in C_1 \end{eqnarray}$ . Nun soll folgendes gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} \frac{\partial \Im[f(z)] }{\partial \boldsymbol{n}} \mathrm{d}s = f'(z) \mathrm{d}z \end{eqnarray}$ , gilt, wobei $\begin{eqnarray} \boldsymbol{n} \end{eqnarray}$ der Normalvektor ist, der in den Kreis hineinzieht und $\begin{eqnarray} \mathrm{d}s \end{eqnarray}$ ein Bogenlängenstück entlang $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ (gegen den Uhrzeigersinn positiv definiert, wie üblich). Ferner bezeichnet $\begin{eqnarray} f'(z) \end{eqnarray}$ die Ableitung der komplexen Funktion $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ bezüglich $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . ---------------------------------------------- Hier mein Lösungsansatz: Zunächst $\begin{eqnarray} \frac{\partial \Im[f(z)] }{\partial \boldsymbol{n}} \mathrm{d}s = \nabla \Im[f(z)] \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{d}s = \Re \left[ 2 \frac{\partial \Im[f(z)] }{\partial z} i \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} \right] \mathrm{d}s \end{eqnarray}$ , wobei die zweite Gleichheit aus den komplexen Formen des Nablaoperators, dem Skalarprodukt und dem Normalenvektor folgt (soweit sollte das auch passen, in anderen Papern bereits verwendet). Komischerweise habe ich in einer Mitschrift eines Kollegen gesehen, dass man das $\begin{eqnarray} \mathrm{d}s \end{eqnarray}$ nun rausstürzen kann. Wobei ich mir nicht sicher bin, ob das geht. Egal, ich nehme es mal so an. Im Zweifel bin ich über Korrektur dankbar Nun verwende ich $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial z} \Im[f(z)] = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{f(z) - \bar{f(z)}}{2 i} \right)= \frac{1}{2 i} \frac{\partial}{\partial z} \left( f(z) - \bar{f}(\bar{z}) \right) = \frac{1}{2 i} \left( \frac{\partial f(z)}{\partial z} - \frac{\partial \bar{f}(\bar{z}) }{\partial z} \right) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \frac{\partial \bar{f}(\bar{z}) }{\partial z} = 0 \end{eqnarray}$ . Das nun eingesetzt liefert $\begin{eqnarray} \frac{\partial \Im[f(z)] }{\partial \boldsymbol{n}} \mathrm{d}s = \Re \left[ \frac{\partial f(z)}{\partial z} dz\right] = \Re \left[ f'(z) dz\right] \end{eqnarray}$ . Almost there. Beim nächsten Schritt bin ich mir sehr unsicher. Allerdings habe ich dann das Differential $\begin{eqnarray} \mathrm{d}z \end{eqnarray}$ aus dem Realteil herausgezogen. Wohlwissend, oder mindestens ahnend, dass ich damit Blödsinn anstelle. Aber jedenfalls verwende ich dann $\begin{eqnarray} \Re [f'(z) \mathrm{d}z] = \Re [f'(z) ]\mathrm{d}z = \frac{f'(z) + \bar{f'}(\bar{z})}{2} \mathrm{dz} \end{eqnarray}$ , und lande schlussendlich damit bei $\begin{eqnarray} =\frac{1}{2} ( f'(z) \mathrm{d}z+ \bar{f'}(\bar{z})\mathrm{d}z) \end{eqnarray}$ , wobei der letzte Term Null ist. Damit komme ich auf den Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac{\partial \Im[f(z)] }{\partial \boldsymbol{n}} \mathrm{d}s = \frac{1}{2} f'(z) \mathrm{d}z \end{eqnarray}$ . ---------------------------------------------- Kommentar: Dies ist offensichtlich nicht ganz die Identität die ich zeigen wollte. Aber eben fast. Ich bin mir bewusst, dass ich auf dem dahin möglicherweise einige Denkfehler habe. Allerdings habe ich das Ganze einmal mit der Funktion $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{1}{2 \pi i} log(z) \end{eqnarray}$ durchgerechnet und komme ebenfalls auf diesen 1/2 Faktor. ---------------------------------------------- Anfrage: Ich bin über jegliche Hilfestellung dankbar. Im Übrigen stammt diese Aussage aus einem Buch und ist dort lediglich als Aufgabe aufgeführt. Bei Interesse teile ich gerne die Primärquelle dazu. Danke und beste Grüße, Seb
30.01.2024, 11:58	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalableitung auf Kurve im Komplexen $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ ist der offene Einheitskreis um den Ursprung? Dort ist dann allerdings dein Beispiel $\begin{eqnarray} \log(z) \end{eqnarray}$ nicht analytisch. Eine analytische Funktion mit konstantem Imaginärteil ist doch ohnehin konstant ? (
30.01.2024, 13:04	SebZ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalableitung auf Kurve im Komplexen Hey, danke für die Antwort. Bei C1 kann es sich generell um jede geschlossene Kurve im Komplexen handeln. Allerdings können wir gerne den Einheitskreis nehmen. Ich gebe zu, das stimmt, dass ich dann die Beispielfunktion unglücklich gewählt habe. Allerdings muss die zu zeigende Identität auch dann halten, wenn $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ nur in einer Nachbarschaft um $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ analytisch ist (das war ungenau definiert von mir). Im Übrigen glaube ich, dass ich die Identität falsch angegeben habe. Laut Buch sollte nämlich gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} \frac{\partial \Im{f(z)}}{\partial \boldsymbol{n}} \mathrm{d}s = \mathrm{d}f(z) \end{eqnarray}$ , sofern man meiner Richtungsdefinition von Normalvektor und dem Bogenlängenstück folgt. Diese Gleichheit habe ich falsch interpretiert und deshalb falsch angegeben, sorry! Das verändert die Aufgabe, da es sich, sofern ich das verstehe, beim $\begin{eqnarray} \mathrm{d}f(z) \end{eqnarray}$ um die Periode der Funktion handelt. Also: um wieviel verändert sich die "multi-valued function" bei jedem Durchlauf des Kreises $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ . Oder? Vielleicht kann man das auch anders interpretieren. Das geht für mich nicht klar aus der Aufgabe hervor. Würde wahrscheinlich Sinn machen, wenn man erneut die Funktion $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{1}{2 \pi i} log(z) \end{eqnarray}$ betrachtet, die immerhin nicht "single-valued" um, angenommen, den Einheitskreis ist. Die zu zeigende Gleichheit muss für dieses spezielle $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ definitiv gelten. Im Buch ist übrigens angegeben, dass $\begin{eqnarray} \oint_{C_1} \mathrm{d}f(z) = 1 \end{eqnarray}$ , sofern f(z) wie oben definiert ist. Vielleicht hilft das weiter. Zu: "Eine analytische Funktion mit konstantem Imaginärteil ist doch ohnehin konstant ?" Mhm gute Frage. Ist das so? Allerdings sollte man beachten, dass die Funktion lediglich einen konstanten Imaginärteil auf C1 hat. Danke und beste Grüße, Seb
30.01.2024, 13:53	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalableitung auf Kurve im Komplexen "Eine analytische Funktion mit konstantem Imaginärteil ist doch ohnehin konstant ?" ...wenn wir über ein Gebiet reden, was ich bei $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ vermutet hatte. Bei einer Kurve $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ muss das natürlich nicht gelten. $\begin{eqnarray} \oint_{C_1} \mathrm{d}f(z) = 1 \end{eqnarray}$ sieht nach Umlaufzahl aus.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »