Lineares Gleichungssystem lösen

29.01.2024, 21:14

Evelyn2003

Lineares Gleichungssystem lösen

Ich habe das lineare Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht, Ich komme jedoch bei der Auflösung der Variablen nicht weiter...

1. Gleichung $\begin{eqnarray*} 3x-6y-6z=0 \end{eqnarray*}$
2. Gleichung $\begin{eqnarray*} 0x-0y-4z=0 \end{eqnarray*}$
3. Gleichung $\begin{eqnarray*} 0x-0y-0z=0 \end{eqnarray*}$

Aus der 3. Gleichung folgt das $\begin{eqnarray*} z=r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ beliebig.

Aus der 2. Gleichung folgt das $\begin{eqnarray*} 4z=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$

Aus der 1. Gleichung folgt $\begin{eqnarray*} 3x-6y-6z=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 3x-6y-6 \cdot 0 =0 \end{eqnarray*}$

Wie löse ich denn bitte x und y auf? normalerweise folgt die auflösung von y ja bei der 2. Gleichung? unglücklich

29.01.2024, 21:32

Evelyn2003

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einer weiteren Aufgabe (hier nahezu dasselbe Problem)
2. Aufgabe:

1. Gleichung $\begin{eqnarray*} 0x-4y-4z=0 \end{eqnarray*}$
2. Gleichung $\begin{eqnarray*} 0x+2y+2z=0 \end{eqnarray*}$
1. Gleichung $\begin{eqnarray*} 0x+0y+0z=0 \end{eqnarray*}$

Aus der 3. Gleichung folgt das $\begin{eqnarray*} z=r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ beliebig.

Aus der 2. Gleichung folgt $\begin{eqnarray*} 2y+2z=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 2y=-2z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} y=-z \end{eqnarray*}$

Aus der 1. Gleichung folgt $\begin{eqnarray*} -4y-4z=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -4 \cdot -r -4r=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4r -4r=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

Was mache ich bitte falsch? Wie kann ich das lösen? : /

29.01.2024, 21:36

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Das erste Problem ist so gut wie gelöst. 3x=6y, also x=2y. Mehr kann man nicht machen. Das Ergebnis ist nicht eindeutig sondern eine Gerade in der xy_Ebene, weil z=0 ist.
Analog bei der zweiten Aufgabe. Weil x beliebig ist, hast du nun eine Ebene im Raum. Deine Folgerungen aus der ersten Gleichung sind allerdings falsch.

29.01.2024, 21:49

Evelyn2003

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu der ersten Aufgabe. Warum hat dann mein Lehrer als Lösung

$\begin{eqnarray*} v_2 = (2, 0, 1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_3= (2, 1, 0) \end{eqnarray*}$ (Zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} =2 \end{eqnarray*}$ )?

mit $\begin{eqnarray*} x=2y \end{eqnarray*}$ hätte ich dann ja $\begin{eqnarray*} v_2=(2y, \frac{x}{2}, r) \end{eqnarray*}$ oder?

Zitat:

Original von Elvis
Deine Folgerungen aus der ersten Gleichung sind allerdings falsch.

Meinst du damit die Folgerungen aus der zweiten Aufgabe?

29.01.2024, 22:06

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Willst du die linearen Gleichungssysteme lösen oder Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen? Das sind völlig unterschiedliche Probleme.
Bei der zweiten Aufgabe folgt aus der ersten Gleichung genau das gleiche wie aus der zweiten Gleichung, denn aus der ersten Gleichung folgt durch Division durch -2 die zweite Gleichung. 0=0 stimmt auch, hilft aber nicht weiter.

30.01.2024, 17:08

Evelyn2003

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
Willst du die linearen Gleichungssysteme lösen oder Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen? Das sind völlig unterschiedliche Probleme.

Ich habe bereits die Eigenwerte schon bestimmt. Und möchte nun die dazugehörigen Eigenvektoren bestimmen. Mithilfe der Eigenwertgleichung, $\begin{eqnarray*} A \cdot v=k \cdot v \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Matrix und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ der Eigenvektor und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , der Eigenwert ist, habe ich die Matrix nun in Zeilenstufenform gebracht. Jetzt will ich den Eigenvektor ausrechnen.

Zitat:

Original von Elvis
Bei der zweiten Aufgabe folgt aus der ersten Gleichung genau das gleiche wie aus der zweiten Gleichung, denn aus der ersten Gleichung folgt durch Division durch -2 die zweite Gleichung. 0=0 stimmt auch, hilft aber nicht weiter.

Ja. beide Vektoren sind linear abhängig. Aber wie kann ich dann das Gleichungssystem bitte lösen?

30.01.2024, 18:17

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wage mal die Vermutung, dass Du dich verrechnet hast und bei richtiger Rechnung die zweite Gleichung mit der dritten übereinstimmt.

Du hättest dann nur 3x-6y-6z=0 bzw. x-2y-2z=0.
Die Lösung dieser Gleichung ist ein zweidimensionalen Vektorraum mit den beiden von deinem Lehrer angegebenen Vektoren als Basis.

30.01.2024, 18:33

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigenräume berechnet man als Kern der linearen Abbildung, deren Matrixdarstellung $\begin{eqnarray*} A-\lambda I \end{eqnarray*}$ ist. Dabei ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert. Der Gauß-Algorithmus hilft auch hier weiter.

30.01.2024, 18:46

Evelyn2003

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
Eigenräume berechnet man als Kern der linearen Abbildung, deren Matrixdarstellung $\begin{eqnarray*} A-\lambda I \end{eqnarray*}$ ist. Dabei ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert. Der Gauß-Algorithmus hilft auch hier weiter.

Den Schritt habe ich ja schon gemacht. Aber jetzt kann ich das Gleichungssystem nicht lösen.

30.01.2024, 21:42

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichungssysteme kannst du ganz bestimmt lösen. Es nützt aber nichts, wenn du das falsche Gleichungssystem löst, denn damit kommst du nicht auf die richtige Lösung. Siehe auch die Anmerkung von Helferlein.

30.01.2024, 21:48

hawe

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ein systematischer Fehler:

z.B. aus Deinem 1. LGS

Aus der 3. Gleichung folgt das z=r mit r∈ℝ und r beliebig.

Das ist falsch:

Bevor Du die freie Variable festlegen kannst musst Du erst mal die Gleichungen umstellen die eine Aussage machen.
Falls in dem 2.Fall (da fehlt eine Gleichung?), die x-Spalte nur 0en aufweist, kannst Du für x gleich was beliebiges Einsetzen (freie Variable) - wird ja alles "genullt"!

Für die Aufgabenkontrolle
https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/upUZg79r

31.01.2024, 07:57

MMchen60

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineares Gleichungssystem lösen
Hallo, viel zu viele Ertläuterungen hast du da bekommen. Es ist einfach so:
Stehen in der dritten Zeile lauter Nullen, dann hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Das bedeut4et, du hast ein Gleichungssystem von zwei Gleichungen und drei Variablen. Dafür musst du eine der Variablen frei wählen, man nimmt da z. B. z=t.
Mit diesem beliebigen Setzen kannst du das Systenm jetzt lösen und erhältst einen Lösungsvektor in Abhängigkeit von t. Dies führt dann in der Folge zu einer Geradengleichung.
Die LÖsung bedeutet, dass die drei Ausgangsgleichungen Ebenen im R3 beschreiben, die sich in einer Gerade schneiden.
Hoffe das ist verständlich.

31.01.2024, 09:08

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nicht, wenn aus der zweiten Gleichung z=0 folgt. Die Lösungsmenge ist dann keine Ebene sondern eine Gerade, wie ich in meiner ersten Antwort gezeigt habe.
Ich stimme zu, dass hier zu viele Erläuterungen abgegeben wurden, das liegt vermutlich auch daran, dass Evelyn ihre Fragen nicht sauber genug formuliert und auf Antworten nicht eingegangen ist. Wer etwas über Basisvektoren eines Eigenraums einer linearen Abbildung wissen will, sollte nicht über Gleichungssysteme reden sondern über die lineare Abbildung.

31.01.2024, 21:49

Evelyn2003

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nun die erste Aufgabe nochmal durchgegangen und habe tatsächlich einen Vorzeichenfehler gehabt.

Nun habe ich folgendes Gleichungssystem stehen:

$\begin{eqnarray*} 3x+6y+6z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x+0y+0z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x+0y+0z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=s \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=2s+2r \end{eqnarray*}$

wähle für $\begin{eqnarray*} s=1 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=2 \Rightarrow v_2=(2,1,0) \end{eqnarray*}$

wähle für $\begin{eqnarray*} s=0 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=2 \Rightarrow v_2=(2,0,1) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ja beliebig sind könnte ich ja somit unendlich viele Eigenvektoren zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ angeben. Reicht es dann auch aus nur einen einzigen Eigenvektor anzugeben?
Und wenn s und r beliebig sind, könnte ich ja für beide Parameter den Wert 0 zuweisen. Das würde ja bedeuten das x=0 wäre und somit der Eigenvektor = Nullvektor wäre, was ja entgegen der Definition von Eigenvektoren wäre. Darf man das machen oder muss ich irgendwie noch eine Bedingung streng genommen angeben das $\begin{eqnarray*} (s \wedge r) \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind?

z.B $\begin{eqnarray*} Eig(A, 2)=s \cdot r \cdot \begin{pmatrix} 2+2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} s, r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Und wie kann man bitte eine geschweifte Klammer in Latex ausdrücken?

Neue Frage »

Antworten »

Lineares Gleichungssystem lösen

Verwandte Themen