Homomorphismus

30.01.2024, 14:32	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphismus Hallo, ich habe zur Definition des Homomorphismus eine Frage. Mir ist aufgefallen, dass manche Autoren explizit eine dritte Bedingung $\begin{eqnarray} f(1) = 1 \end{eqnarray}$ für einen Homomorphismus einführen. Manchmal kommt die Definition auch ohne diese Bedingung aus. Meine Frage, warum ist das verschieden und nicht einheitlich? Was bedeutet denn $\begin{eqnarray} f(1) = 1 \end{eqnarray}$ , etwa, dass 1 z.B. aus einem Ring wieder auf die Identität (multiplikativ/additiv) des Bildes abgebildet wird? Vielen Dank!
30.01.2024, 14:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es z.B. um einen Gruppen-Homomorphismus geht, und 1 jeweils das neutrale Element der Gruppenoperation kennzeichnet, dann muss man das nicht fordern, sondern kann es folgern - ist hier z.B. ausführlich dargelegt: https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppenhomomorphismus
30.01.2024, 15:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind R und S Ringe mit neutralen Elementen $\begin{eqnarray} 1 _R, 1_S \end{eqnarray}$ bezüglich der Multiplikation, dann muss man für einen Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray} f:R\to S \end{eqnarray}$ fordern, dass $\begin{eqnarray} f(1_R)=1_S \end{eqnarray}$ gilt, denn es folgt nicht daraus, dass $\begin{eqnarray} f: (R, +) \to (S, +) \end{eqnarray}$ ein Gruppenhomomorphismus ist und $\begin{eqnarray} f(a\cdot b) =f(a) \cdot f(b) \end{eqnarray}$ gilt. Wenn in R oder S kein Einselement enthalten ist, dann kann man es nicht fordern, und wenn man es nicht benötigt, kann man auch auf die Forderung verzichten.
30.01.2024, 16:26	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL und Elvis! Danke für eure Antworten! Das hat mir schon gut weitergeholfen!
30.01.2024, 17:58	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Manchmal bekommt man es geschenkt, wie z.B. beim Einsetzungshomomorphismus: Für eine feste, quadratische Matrix A ordnet er einem Polynom p die Matrix p(A) zu. Dem Polynom 1 wird die Einheitsmatrix zugeordnet. Es kann aber auch schief gehen, wie der triviale Homomorphismus zeigt, der jedem Polynom die ganze Zahl Null zuordnet.

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