Minimaler Flächeninhalt

31.01.2024, 23:00

Manneh

Minimaler Flächeninhalt

Meine Frage:
Komme hier leider nicht weiter und würde mich über Vorschläge freuen!

Aufgabenstellung siehe Bild:

Meine Ideen:
Habe zuerst die Stammfunktion gebildet 1/16 x^2 + 2ln(|x|) und als Grenzen x=b (untere) und x=b+3 (obere) eingefügt. Anschließend - A(b)= 2ln((b+3)/b)+ 3/8 b + 9/16 - abgeleitet zu - Á(b)= 3/8 b - 6/b(b+3) - und versucht nach b aufzulösen. Ab hier komme ich allerdings nicht weiter, da für b nichts sinnvolles rauskommt.

31.01.2024, 23:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Manneh
Aufgabenstellung siehe Bild:

Das hat wohl nicht geklappt - versuch's nochmal.

31.01.2024, 23:52

Manneeh

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RE: minimaler Flächeninhalt - Integralrechnung
So hier wäre die Aufgabenstellung: [attach]57513[/attach]

Willkommen im Matheboard!

Du bist nun zweimal angemeldet, Manneh wird daher demnächst gelöscht.

Viele Grüße
Steffen

01.02.2024, 01:05

untildawn

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Damit das Ableiten etwas leichter fällt, schreibe ich die Flächenfunktion mal so :

$\begin{eqnarray*} A(b)=2ln(b+3)-2ln(b)+\frac{3}{8}b+\frac{9}{16} \end{eqnarray*}$

Als Ableitung resultiert damit :

$\begin{eqnarray*} A'(b)=\frac{2}{b+3}-\frac{2}{b}+\frac{3}{8} \end{eqnarray*}$

Setzt man diese gleich Null und multipliziert die Gleichung mit den 3 Nennertermen, so erhält man zunächst

$\begin{eqnarray*} 16b-16(b+3)+3b(b+3)=0 \end{eqnarray*}$

und etwas umgeformt dann die quadratische Gleichung

$\begin{eqnarray*} b^2+3b-16=0 \end{eqnarray*}$

welche für $\begin{eqnarray*} b \geq 1 \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung besitzt.

01.02.2024, 01:38

untildawn

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Der Vollständigkeit halber sollte man im Übrigen noch begründen, warum es im Integrationsintervall keine Nullstellen gibt.
Möglich wäre z.B. sowas wie $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{8}+\frac{2}{x}>0 \ ~ \text{für} \ ~ x \geq 1 \end{eqnarray*}$
Der Graph von f liegt sogar komplett oberhalb der x-Achse, aber für die vorliegende Aufgabenstellung braucht man diese Eigenschaft nicht.

01.02.2024, 08:25

HAL 9000

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Anmerkung: Für die Flächenberechnung selbst braucht man das Integral $\begin{eqnarray*} A(b) = \int\limits_b^{b+3} f(x) ~ \dd x = F(b+3) - F(b) \end{eqnarray*}$ , mit einer Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Ginge es allein um die Bestimmung der Extremstellen, so wäre die Integralberechnung unnötig: Dann ist nämlich

$\begin{eqnarray*} A'(b) = F'(b+3) - F'(b) \stackrel{!}{=} f(b+3) - f(b) = \frac{b+3}{8} + \frac{2}{b+3} - \frac{b}{8} - \frac{2}{b} = \frac{3}{8} + \frac{2}{b+3} - \frac{2}{b} \end{eqnarray*}$

direkt aus $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bestimmbar, ohne dass man $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ kennen muss. Ist hier nicht wichtig, aber für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit schwer bestimmbarer Stammfunktion ist das eine Option.

01.02.2024, 11:13

Manneeh

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Vielen Dank! Da war ich wohl einfach beim Ergebnis verunsichert, da ich was glattes erwartet hätte, anstatt die $\begin{eqnarray*} b=\frac{-3+ \sqrt[2]{73}}{2} \end{eqnarray*}$ .
Der minimale Flächeninhalt müsste dann $\begin{eqnarray*} F(b)= 3,069FE \end{eqnarray*}$ sein, ist das richtig?

02.02.2024, 17:36

untildawn

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