Ableitung Sinus

01.02.2024, 20:05	Mommath	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung Sinus Meine Frage: Hallo zusammen, ich benötige dringend eine Hilfe. Mich würde interessieren, wie man in einem 20 minütigen Referat die Ableitung des Sinus erklären kann. Doch wie genau kann ich da ein Referat erstellen und wie funktiniert der letzte Schritt mit der Substitution? Vielen Dank für Eure Hilfe!!! Meine Ideen: Folgende Ansatzpunkte hätte ich schon: - h-Methode - Differenzialquotient - Additionstheorme - Substitution
02.02.2024, 08:32	Conny_1729	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung Sinus Hallo, darf denn auch eine geometrische Skizze (1.Quadrant Einheitskreis) als zusätzliche visuelle Hilfestellung angeführt werden? Gruß Conny .
03.02.2024, 00:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei den Ansatzpunkten wäre noch ein Punkt zu erwähnen: Grenzwertsätze Denn erst mit deren Kenntnis sind die bei der Rechnung auftretenden Grenzwerte zu berechnen. Nun die h-Methode: $\begin{eqnarray} (\sin x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin (x+h) - \sin x}{h} \end{eqnarray}$ Auf Grund des 2. Additionstheorems $\begin{eqnarray} \sin a - \sin b = 2 \sin (a-b) \cos (a+b) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \sin (x+h) - \sin x = 2 \sin \frac h 2 \cos (x + \frac h 2) \end{eqnarray}$ somit ist $\begin{eqnarray} (1) \ \lim_{h \to 0} \frac{\sin (x+h) - \sin x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2 \sin \frac h 2} h \cdot \lim_{h \to 0} \cos (x+\frac h 2) \end{eqnarray}$ Der Grenzwert des 2. Faktors ist $\begin{eqnarray} \color{red} \cos x \end{eqnarray}$ , der erste geht gegen 1. Um das zu beweisen, wird er umgeschrieben zu $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{2 \sin \frac h 2} h = \lim_{h \to 0} \frac{\sin \frac h 2} {\frac h 2} \end{eqnarray}$ Mit der Substitution $\begin{eqnarray} \frac h 2 = z \end{eqnarray}$ und aus $\begin{eqnarray} h \to 0 \end{eqnarray}$ folgt auch $\begin{eqnarray} z \to 0 \end{eqnarray}$ ist nunmehr $\begin{eqnarray} \lim_{z \to 0} \frac{\sin z} z \end{eqnarray}$ zu ermitteln. Dass dieser Grenzwert gleich 1 ist, wird mittels eines (oft geführten) klassischen Beweises gezeigt --> "Sandwich-Ungleichung" im Einheitskreis! $\begin{eqnarray} \sin z \leq z \leq \tan z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 \leq \frac z {\sin z} \leq \frac 1 {\cos z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos z \leq \frac {\sin z} z \leq 1 \end{eqnarray}$ Wenn nun $\begin{eqnarray} z \to 0 \end{eqnarray}$ geht, bleibt dem Bruch in der Mitte nichts anderes übrig, als auch gegen 1 zu gehen! Daher ist der Grenzwert in der Gleichung (1) $\begin{eqnarray} \color{red} \cos x \end{eqnarray}$ mY+

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »