Punktsymmetrie nachweisen

03.02.2024, 21:20

wolkenbruch

Punktsymmetrie nachweisen

Hallo

Ich würde gerne für den Nachweis von $\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}~cos(3x³+x-\frac{\pi}{2})=0 \end{eqnarray*}$ zeigen, dass der Graph der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=cos(3x³+x-\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Ich hatte vor den Zusammenhang f(x) = - f(-x) zu nutzen, der ja bei Punktsymmetrie zum Ursprung gelten muss.

Ich schaffe es jedoch nicht $\begin{eqnarray*} -f(-x)=-cos(-3x³-x-\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ so umzuformen, dass wieder die Ausgangsfunktion f(x) resultiert.

Ebenso hatte ich an eine Sinustransformation gedacht, also an $\begin{eqnarray*} f(x)=cos(3x³+x-\frac{\pi}{2})=sin(3x^3+x) \end{eqnarray*}$ , was mich aber auch nicht weiter brachte.

Hat jemand eine Idee ?

03.02.2024, 22:15

klauss

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RE: Punktsymmetrie nachweisen
Ich finde die Idee
$\begin{eqnarray*} f(x)=cos(3x³+x-\frac{\pi}{2})=sin(3x^3+x) \end{eqnarray*}$
gut, denn so ist
$\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$
sofort ersichtlich.

04.02.2024, 09:16

wolkenbruch

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Für mich ist da leider nichts sofort ersichtlich.
Vielleicht willst du darauf hinaus, dass die elementare Sinuskurve zu g(x)=sin(x) selbst punktsymmetrisch zum Ursprung ist und daher selbiges für h(x)=sin(u(x)) mit einer beliebigen inneren Funktion u(x) gilt.
Es spielt in meinen Augen aber schon eine Rolle was im Argument steht oder irre ich mich ?
Nehmen wir z.B. mal $\begin{eqnarray*} h(x)=sin(e^x) \end{eqnarray*}$ , da ist dann nichts mehr mit Symmetrie.
Oder gibt es eine Regel a la "Wenn die innere Funktion u(x) im Sinus punktsymmetrisch zum Ursprung ist, dann gilt dies auch für sin(u(x))" ?

04.02.2024, 11:12

Mathema

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Die Komposition einer ungeraden Funktion mit einer ungeraden Funktion ist ungerade.
Aber auch wenn du diese Regel nicht kennst, kannst du es doch einfach nachrechnen.

$\begin{eqnarray*} f(-x)=\sin\left(3(-x)^3+(-x)\right)=\ldots=-f(x) \end{eqnarray*}$

04.02.2024, 12:05

klauss

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Zitat:

Vielleicht willst du darauf hinaus, dass die elementare Sinuskurve zu g(x)=sin(x) selbst punktsymmetrisch zum Ursprung ist

Ja, aber nicht

Zitat:

und daher selbiges für h(x)=sin(u(x)) mit einer beliebigen inneren Funktion u(x) gilt.

sondern hier speziell für ein ganzrationales u(x) mit ausschließlich ungeraden Exponenten ohne Absolutglied, was als Merkregel dringend zu empfehlen ist.
Man sieht also schon ohne Rechnung, dass beim Einsetzen von (-x) innerhalb des Sinus -u(x) übrigbleibt und man das Minuszeichen gleich rausziehen kann.

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