Liegen alle Mengen dicht in R?

05.02.2024, 01:12

Elisa1234

Liegen alle Mengen dicht in R?

Meine Frage:
Meine Ursprungsfrage: Existieren Teilmengen A ? [0,1] mit m*(A) = 1, die nicht dicht in [0,1] liegen? m* steht für das äußere Maß.

Meine Ideen:
Bei mir scheitert es grundsätzlich. Es liegen doch alle Teilmengen A ? [0,1] (unabhängig vom Maß) dicht in R oder? Habt ihr Gegenbeispiele?

05.02.2024, 01:52

Elisa1234

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RE: Liegen alle Mengen dicht in R?
Entschuldigt ich habe bei der Definition von Dichtheit Variablen verwechselt Hammer

. Die Fragezeichen waren übrigens Teilmengensymbole. Natürlich gibt es Teilmengen von [0,1] die nicht dicht in [0,1] liegen. Z.B. {{}; 0,5}.
Hierbei bin ich unsicher:
Kann ich {{}; 0,5} als Grundmenge nehmen? verwirrt

Dann könnte ich das Äußere Maß ich auf {{}; 0,5} so definieren: m*({}) =0 und m*(0,5) =1.

05.02.2024, 14:48

HAL 9000

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RE: Liegen alle Mengen dicht in R?
Vorab: Du solltes generell mal die Vorschau-Funktion vor dem Absenden der Beiträge nutzen - damit du siehst, ob dein Copy+Paste auch wirklich richtig funktioniert hast, um dann noch (zumindest die zum Verständnis zwingend notwendigen) Reparaturen durchzuführen. Betrifft noch mehr deinen anderen Thread.

Mit "das" äußere Maß $\begin{eqnarray*} \mu^* \end{eqnarray*}$ meinst du hier das zum Lebesgue-Borel-Inhalt gehörende äußere Maß, oder? (Es gibt schließlich auch andere mögliche Inhalte auf der Grundmenge [0,1], zu denen man ein äußeres Maß konstruieren kann!)

Dann dürfte die Aussage stimmen - lässt sich z.B. leicht daraus beweisen, dass $\begin{eqnarray*} (0,1)\setminus \overline{A} \end{eqnarray*}$ offen ist.

05.02.2024, 23:25

Elisa1234

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RE: Liegen alle Mengen dicht in R?
Danke! Ja ich meine das äußere Lebesque Maß. Meinst du also A := (0,1)? Aber dann liegt A doch dicht in [0,1] oder? Ich suche ja eine Menge mit äußerem Lebesque Maß 1 die nicht dicht in [0,1] liegt.
Falls es so eine überhaupt gibt verwirrt

Danke für den Tipp, waren meine ersten Beiträge, werde mich bessern Freude

06.02.2024, 06:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elisa1234
Meinst du also A := (0,1)?

Nein, ich meine das was ich geschrieben habe - nicht das, was du mir falscherweise in den Mund legst. unglücklich

06.02.2024, 11:12

Elisa1234

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Entschuldige bitte, ich will dir nichts falsches in den Mund legen und bin dankbar für Hilfe. Wie definierst du denn A?

06.02.2024, 11:16

IfindU

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Tatsächlich war HAL ungewöhnlicherweise etwas ungenau. HAL meinte sicherlich ein $\begin{eqnarray*} A\subset [0,1] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m^*(A) = 1 \end{eqnarray*}$ , und er wollte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \overline A = [0,1] \end{eqnarray*}$ ist, d.h. $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist dicht in $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ .

06.02.2024, 11:34

Elisa1234

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Ah verstanden! Danke euch!! Freude

06.02.2024, 11:36

HAL 9000

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Ich war nicht ungenau. Mein Hinweis bezog sich darauf, dass für ALLE Teilmengen $\begin{eqnarray*} A\subseteq [0,1] \end{eqnarray*}$ deren Abschließung $\begin{eqnarray*} \overline{A} \end{eqnarray*}$ selbstredend abgeschlossen ist, und damit die Menge $\begin{eqnarray*} B:=(0,1)\setminus \overline{A} \end{eqnarray*}$ offen sein muss.

Ich dachte anschließend an einen indirekten Beweis, d.h. aus $\begin{eqnarray*} B\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ dann auf $\begin{eqnarray*} \mu^*(A)<1 \end{eqnarray*}$ zu schließen.

Die Grenzen 0 bzw. 1 spielen keine Rolle, denn $\begin{eqnarray*} \overline{A}=(0,1) \end{eqnarray*}$ bzw. die beiden halboffenen Varianten $\begin{eqnarray*} \overline{A}=(0,1] \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \overline{A}=[0,1) \end{eqnarray*}$ verbieten sich von selbst.

06.02.2024, 11:43

IfindU

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RE: Liegen alle Mengen dicht in R?

Zitat:

Original von Elisa1234
Meine Frage:
Meine Ursprungsfrage: Existieren Teilmengen A ? [0,1] mit m*(A) = 1, die nicht dicht in [0,1] liegen? m* steht für das äußere Maß. Nein

Meine Ideen:
Bei mir scheitert es grundsätzlich. Es liegen doch alle Teilmengen A ? [0,1] (unabhängig vom Maß) dicht in R oder? Sicherlich nicht ohne Anforderungen an das Maß und auch nicht für ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ Habt ihr Gegenbeispiele?Nein, es gibt so Mengen nicht

Zitat:

Original von HAL 9000
Dann dürfte die Aussage stimmen - lässt sich z.B. leicht daraus beweisen, dass $\begin{eqnarray*} (0,1)\setminus \overline{A} \end{eqnarray*}$ offen ist.

Elisa hatte 3 Fragen gestellt (ich hab mal Antworten in bold ergänzt). Wenigstens mir war unklar, worauf sich "Dann dürfte die Aussage" stimmen bezog. Die Aussage "Alle Mengen $\begin{eqnarray*} A\subset [0,1] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m^*(A) = 1 \end{eqnarray*}$ liegen dicht in $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ " war nirgendwo formuliert.

Darauf bezog ich mich mit ungenau.

06.02.2024, 11:46

HAL 9000

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Ich kann nichts dafür, wenn ihr meine Aussage mit einem Kontext verseht, den ich nie gemeint habe.

Im übrigen gilt die von mir getätigte Aussage auch für "einengende" Voraussetzungen an $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , ist also in keinem Fall ungenau.

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