Duell der 70 Schützen

06.02.2024, 16:28

Dopap

Duell der 70 Schützen

Im Multiduell treten 70 perfekte Revolverhelden nach den bereits erwähnten Regeln an:
I)Alle schießen gleichzeitig
II)Jeder zielt auf den ihm am nächsten stehenden und bei mehreren möglichen Zielen rein zufällig,
III)Jeder trifft zu 100% sein gewähltes ziel.
Im vorigen thread "Duell" zu Dritt ging es auf Vorschlag von HAL9000 in voller Allgemeinheit um die Verteilung von N Toten in regulären n-Ecken, was dann auch von Ihm selbst gelöst wurde.
Nun steht aber ohne Beachtung der Wkt nur die Anordnung der Schützen im Blickpunkt.

lesbarer und weniger blutig:

1) sei $\begin{eqnarray*} S \subset R\times R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} | S | = 70 \end{eqnarray*}$
2) sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine fixpunktfreie Funktion $\begin{eqnarray*} f: S \to S \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} f(p)=q \end{eqnarray*}$ bedeutet: Schütze p trifft q
3) $\begin{eqnarray*} \forall u \in S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall v \in S\backslash \{u\} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} dist(u,f(u)) \leq dist(u,v) \end{eqnarray*}$

Welche Mächtigkeit hat $\begin{eqnarray*} S\backslash f[S] \end{eqnarray*}$ ?

Meine Lösung: 10 räumlich ausreichend weit entfernte Gruppen ( --> zwischen den Gruppen wird nicht geschosen ) a 6 Schützen im einem regulären Sechseck + ein Schütze im Mittelpunkt. "Opfer"deshalb genannt, da die 6 am Rand alle Ihn ausgewählt haben.
liefert max (Überlebende) = 10x (7-2)=50.
(Bem: aber mit einer Wkt von (1x(1/3)^6)^10, approx 2.36 x10^-29 erkauft, was aber unerheblich ist)

Frage: geht das besser, evtl. sogar maximal besser und könnte man das dann auch begründen/beweisen?

06.02.2024, 17:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
(Bem: aber mit einer Wkt von (1x(1/3)^6)^10, approx 2.36 x10^-29 erkauft, was aber unerheblich ist)

Meinst du das so, dass die Schützen bei mehreren gleich weit "kürzest" enfernt stehenden Zielen eines davon zufällig auswählen?

Dann stimmt deine Rechnung aber nicht:

Der in der Mitte stehende zielt auf irgendeinen der sechs am Rand. Die beiden benachbarten haben nun aber ZWEI mögliche Ziele, die die Totenanzahl nicht auf mehr als zwei steigen lassen. Richtig ist demnach Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{3}\right)^4\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{3^6} \end{eqnarray*}$

für genau zwei Tote in einer einzigen Siebenergruppe. Augenzwinkern

Übrigens: Betrachten wir $\begin{eqnarray*} S\subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ - ich denke da an die unfreiwillig komische Laser-Raumschlacht in "Moonraker" - dann können sogar 58 überleben (Stichwort: Ikosaeder). Big Laugh

06.02.2024, 18:09

Conny_1729

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RE: Duell der 70 Schützen

Zitat:

Original von Dopap
Frage: geht das besser, evtl. sogar maximal besser und könnte man das dann auch begründen/beweisen?

Hallo,

ich hätte 7 Gruppen mit je 10 Schützen anzubieten, bei der sich die "Opfer" dann noch gegenseitig erledigen würden. Wäre das auch eine Lösung?

Gruß Conny
.

06.02.2024, 18:18

HAL 9000

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(Habe Conny erst missverstanden.)

Ist in der Tat eine Verbesserung. Es sieht nicht danach aus, dass man mit einer Erweiterung dieser Idee (noch weitere Punkte im Dreiecksgitter betrachten) auf eine noch geringere Totenquote als 2/10 kommen kann, aber vielleicht übersehe ich ja auch was.

07.02.2024, 10:33

URL

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off topic: Ist schon erstaunlich, welche Entrüstung der Beitrag Untotenburg angreifen von Ulrich Ruhnau auslöste, während sich hier 70 Revolverhelden über den Haufen schießen.

07.02.2024, 11:15

HAL 9000

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Dopaps erklärtes Ziel ist ja die Minimierung der Opferzahlen, insofern...

07.02.2024, 15:43

Dopap

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URL: deshalb und wg. Gendern etc. ist die Aufgabe rein mathematisch formuliert.

HAL 9000: es gibt keine zeitlichen "Reaktionen auf Schüsse". In jeder der 10 Gruppen stirbt das Opfer und zusätzlich (irgend)Einer am Rand. Macht 2 mit der nicht gefragten Wkt 1 x (1/3)^6 .

Conny_1729: super Vorschlag, der $\begin{eqnarray*} |S\backslash f[S]| \end{eqnarray*}$ auf 56 steigert.

56 scheint optimal zu sein. Für eine mögliche Begründung wären aber zeichnerische Hilfsmittel
wie Halbebenen, Winkelfelder, Sektoren etc notwendig...

07.02.2024, 16:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
HAL 9000: es gibt keine zeitlichen "Reaktionen auf Schüsse". In jeder der 10 Gruppen stirbt das Opfer und zusätzlich (irgend)Einer am Rand. Macht 2 mit der nicht gefragten Wkt 1 x (1/3)^6 .

Wer hat denn von "zeitlichen Reaktionen" geredet? Du hast leider wieder mal überhaupt nicht gelesen, was ich geschrieben habe - oder es komplett falsch interpretiert. unglücklich

Du hast die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass alle sechs am Rand postierten auf den in der Mitte schießen.

Ich habe die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass am Ende genau zwei Tote in der Siebenergruppe zu verzeichnen sind - was etwas ANDERES ist als das Ereignis, dass alle auf den in der Mitte schießen. Und darum geht es hier doch eigentlich, oder habe ich dich da falsch verstanden? Erstaunt1

Beispiel: Schützen 1..6 am Rand und 7 in der Mitte

1 schießt auf 7
2 schießt auf 3
3 schießt auf 7
4 schießt auf 3
5 schießt auf 7
6 schießt auf 7
7 schießt auf 3

ohne zeitliche Reaktionen - sie entscheiden sich halt so und ziehen das dann gleichzeitig so durch.

Ergebnis: 3 und 7 sind tot, aber diese Zielauswahlvariante wurde in deiner Wahrscheinlichkeitsberechnung nicht erfasst.

Die analoge Rechnung für Connys Zehnergruppe liefert übrigens Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} p = \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^6\cdot \left(\frac{2}{4}\right)^2 = \frac{1}{2^4\cdot 3^8}\approx 9.536\cdot 10^{-6} \end{eqnarray*}$

für 2 Tote bzw. dann auf alle sieben Zehnerteams gemeinsam $\begin{eqnarray*} p^7\approx 7.12\cdot 10^{-36} \end{eqnarray*}$ für 14 Tote und damit 56 Überlebende.

07.02.2024, 17:31

URL

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@Dopap: Überzeugt mich jetzt nicht, aber was soll's
Das Problem kam mir doch gleich so bekannt vor highnoon

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