Quantoren nutzen? (hier: Restklassen)

Neue Frage »

08.02.2024, 21:31

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Quantoren nutzen? (hier: Restklassen)

Hallo

ich bin immernoch bei der Nutzung von Quantoren verunsichert. Ich möchte folgendes machen:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen und sei $\begin{eqnarray*} m\neq 0 \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl.
Dann definiere
$\begin{eqnarray*} [N]_m := \bigcup\{ [n]_m|n\in N\} (1) \end{eqnarray*}$

Ich möchte also die Restklasse dieser Menge definieren.
Ist es korrekt, dass ich hinter den Trennstrich $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ schreibe?
Oder sollte es eher sein:
$\begin{eqnarray*} [N]_m := \bigcup\limits_{n\in N}\{ [n]_m\} (2) \end{eqnarray*}$
oder vielleicht
$\begin{eqnarray*} [N]_m := \bigcup\{ [n]_m\forall n\in N\} (3) \end{eqnarray*}$ ?

Ich denke zwar, dass alle gleich sind, aber wahrscheinlich haben sie mindestens Vor-und Nachteile, wenn nicht sogar etwas Falsches smile

09.02.2024, 07:52

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Restklassen sind Mengen, für die Vereinigung von zwei Mengen schreibt man z.B. $\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \{A\} \cup \{B\} \end{eqnarray*}$ . Deswegen sind deine drei Schreibweisen falsch, und nur die zweite wird richtig, wenn du die geschweiften Klammern weglässt. Beachte, dass du damit die Vereinigung von Restklassen definierst und keine Restklasse.

09.02.2024, 16:10

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
Restklassen sind Mengen, für die Vereinigung von zwei Mengen schreibt man z.B. $\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \{A\} \cup \{B\} \end{eqnarray*}$

Hallo Elvis, vielen Dank für deine Antwort. Ich verstehe auch was dahintersteckt, aber jetzt glaube ich, dass ich etwas ganz anderes möchte (was ich nicht richtig ausgedrückt habe).
Sei $\begin{eqnarray*} N =\{3,7,9\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m = 7 \end{eqnarray*}$ .
Dann soll $\begin{eqnarray*} [N]_7 = \{[3]_7, [7]_7, [9],_7\} \end{eqnarray*}$ sein. Aber das ist ist doch $\begin{eqnarray*} \{[3]_7\}\cup\{[7]_7\}\cup\{[9]_7\}\ \end{eqnarray*}$ , oder?

09.02.2024, 17:01

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} [N]_m = \{[n]_m|n\in N\}=\bigcup_{n\in N}\{[n]_m\} \end{eqnarray*}$

Das geht so, weil jede Menge M die Vereinigung über alle einelementigen Mengen ist, deren Elemente die Elemente der Menge M sind: $\begin{eqnarray*} M=\bigcup_{x\in M}\{x\} \end{eqnarray*}$ .

Also sind deine Schreibweisen (1) und (3) falsch, (2) ist richtig aber unnötig kompliziert. Warum sollte man eine Menge als Vereinigung schreiben, wenn sie ganz einfach aufgeschrieben werden kann als Menge von Objekten mit gewissen Eigenschaften.

09.02.2024, 18:00

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Üblicherweise definiert man für ein Funktione $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf "Elementen" von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} f(N) = \{ f(n) | n \in N \} \end{eqnarray*}$ . Das entspricht dem Bild von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Wie Elvis sagt kann man es auch als Vereinigung schreiben, ich finde es wegen dem riesigem Vereinigungszeichen eher als unästhetisch als unnötig kompliziert.

09.02.2024, 21:28

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ihr beiden, danke für eure Zeit.

Zitat:

Original von Elvis
[Warum sollte man eine Menge als Vereinigung schreiben, wenn sie ganz einfach aufgeschrieben werden kann als Menge von Objekten mit gewissen Eigenschaften.

Nun ja, ich dachte hier ist es für den Leser ganz leicht nachzuvollziehen.
"nimm die Menge N, setze um jedes element eckige Klammern und schreibe m als Index daran."
Und mit diesen einzelnen Mengen weiß der Leser ja zu arbeiten.

Was wäre denn die "simpelste" Methode?

10.02.2024, 08:09

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz einfach so, wie man jede Menge aufschreiben kann. Eine Menge enthält alle Objekte mit gewissen Eigenschaften.
$\begin{eqnarray*} [N]_m = \{[n]_m|n\in N\} \end{eqnarray*}$

10.02.2024, 13:43

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, das habe ich verstanden Freude

Ich habe hier einmal meine jetzt aktualisierte Definition angehangen.
Die Schreibweise mit dem großen Vereinigungszeichen habe ich beibehalten. Mir als Leser würde das sehr helfen, wenn vorher mit den einzelnen Restklassen $\begin{eqnarray*} [n]_m \end{eqnarray*}$ gearbeitet wurde.

Feedback ist natürlich erwünscht smile

[attach]57545[/attach]

10.02.2024, 16:24

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist deine Arbeit, wenn du meinst es hilft dem Leser, dann nur zu. So ist es konsistent und korrekt.

10.02.2024, 17:03

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist sowohl widerspruchsfrei als auch fehlerfrei und gut lesbar. Was mir nicht so gut gefällt, ist der Begriff "Restklasse einer Menge" für die Menge von Restklassen $\begin{eqnarray*} N\, (mod\, m)=[N]_m \end{eqnarray*}$ . Warum nennst du die Menge von Restklassen nicht einfach "Menge von Restklassen" ?

Neue Frage »

Antworten »

Quantoren nutzen? (hier: Restklassen)

Verwandte Themen