Definitheit von Matrizen |
| 09.02.2024, 08:42 | MMchen60 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Definitheit von Matrizen 1. Bestimmung über die Hauptminoren (siehe Anhang). 2. Besteht die Hauptdiagonale aus lauter Nullen, ist die Maztrix indefinit. 3. Ist die Matrix in eine Diagonalmatrix gewandelt, stehen auf der Hauptdiagonalen die Eigenwerte der Matrix. Sind alle Eigenwerte positiv, dann ist die Matrix positiv definit. Sind alle Eigenwerte negativ, dann ist die Matrix negativ definit. Sind sowohl positive als auch negative Eigenwerte vorhanden, so ist die Matrix indefinit. 4. Voll besetzte Matrizen: Kommen auf der Hauptdiagonalen Werte sowohl <0 als auch >0 vor, so ist die Matrix automatisch indefinit. 5. Auf die Berhandlung der Nullmatrix kommen wir später. Meine Frage geht nun dahin. Nach den obigen Kriterien habe ich positiv definite, negtiv definite und indefinite Matrizen. Gut. Damit wären ja alle kritschen Punkte entweder Maxima, Minima oder Sattelpunkte. Jetzt weiß ich aber, dass es ein Kriterium gibt, welches keine Aussage über einen kritischen Punkt zulässt. Wo ist dieses Kriterium in den obigen Aussagen zu finden? Vielen Dank für Antwort. |
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| 11.02.2024, 11:11 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke, du meinst den Fall der Semidefinitheit. In diesem Fall ist nicht hinreichend, ob eindeutig ein Maxima, Minima oder Sattelpunkt vorherrscht. Da lediglich in deinem Anhang von Semidefinitheit gesprochen wird, ist Punkt 1. dein gesuchtes Kriterium. Ich würde aber lieber vom Kriterium der Semidefiniheit an sich sprechen, nicht deinen aufgezählten Kriterien 1. bis 5.. Siehe auch Link unter Abschnitt Extremwerte. |
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| 11.02.2024, 17:12 | MMchen60 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, danke, ja, das war es was mir fehlte. Allerdings kann ich ja wohl über die Hauptminoren wohl nicht alles abdecken. Positiv definit ja, negativ infinit auch ja, auch semidefinit, aber, das heißt doch noch nicht, dass alles was da nicht darunter fällt gleich infinit ist oder? Was ist z, B. wenn eine eigentliche negativ definite Matrix mit Hauptminor -1;2;-3;4;-5 an einer Stelle unterbrochen wird und dann so aussieht: -1;2;3;4;-5. Ist die jetzt indefinit nur weil sie nicht unter die anderen 4 Kategoreien fällt? VG MM |
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| 12.02.2024, 20:58 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Über die Hauptminoren allein sicherlich nicht, aber über die Minoren höheren Grades bestimmt. Siehe Link unter Abschnitt Hauptminoren und unter anderem die Bemerkung. Dort wird auch erwähnt, dass dein Kriterium im Anhang für positiv semidefinit nicht ganz richtig ist. Die fünf Einteilungen in positiv definit, negative definit, positiv semidefinit, negativ semidefinit und indefinit (nicht infinit 
) ist eine disjunkte Zerlegung und ebenfalls vollständig. D.h. eines der fünf Fälle wird es sein.Dein Beispiel liefert eine indefinite Matrix, siehe den Link von oben und die Bemerkung. |
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| 13.02.2024, 15:09 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das mit der "disjunkten Zerlegung" stimmt nicht ganz: "Positiv semidefinit" und "negativ semidefinit" können gemeinsam auftreten, allerdings nur in einem ganz besonderem Ausnahmefall: Alle Eigenwerte sind Null, was bei der symmetrischen Hessematrix gleichbedeutend mit Nullmatrix ist. Immerhin mögen in diesem Fall die drei Beispiel-Funktionen im Nullpunkt illustrieren, dass dann sowohl Minimum, Maximum als auch Sattelpunkt möglich sind. |
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| 13.02.2024, 18:57 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@HAL 9000 Vollkommen richtig, danke für diese Korrektur. |
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