Lineare Funktionen, Funktion von x

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Grauli Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Funktionen, Funktion von x
Meine Frage:
Liebe Leser

Für was ist das x bei "y = mx +q" beim Einzeichnen von den Graphen gut? (Beim Ausrechnen verstehe ich den Zweck.)

(Dadurch, dass es nur den Zähler der Steigung multipliziert, vergrössert es nicht das Steigungsdreieck. (-> für Zusammenhang siehe bitte eigene Ideen)

Danke

Meine Ideen:
Wenn man z.B. die Funktion y = 2x + 3 hat und für x = 1 einsetzt, kann man den Graphen ja leicht einzeichnen. Wenn aber x = 2 wird, wird die Steigung m = 2/1 zu m = 4/1, nicht? Dann wäre der Graph nicht mehr eine Gerade sondern eine Kurve (wie bei einer Funktion 2. Grades). Das Verhältnis zwischen (Delta y)/Delta x) wäre dann nicht mehr hergestellt. (Ausser man würde 2 * 2/2 + 3 berechnen, was ja wieder 2 * 1 +3 wäre. Aber so wäre das Verhältnis beim Steigungsdreieck erhalten.)
Darum frage ich mich, warum es bei dem Einzeichnen des Graphen auch dieses x braucht. Es erfüllt keine (für mich) sichtbare Funktion. Denn theoretisch könnte man auch immer wieder kleine Steigungsdreiecke einzeichnen, nicht? Dann hätte man auch den Graphen der Funktion.

Darum: Für was braucht es dieses x? (Dadurch, dass es nur den Zähler der Steigung multipliziert, vergrössert es nicht das Steigungsdreieck.)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das x ist die unabhängige Variable der linearen Funktion f(x): y = 2x + 3 und beeinflusst natürlich die Steigung nicht.
Eine Methode für das Erstellen des Graphen ist jedoch die Bestimmung der Koordinaten zweier oder mehrerer Punkte und da kommen nun x und y ins Spiel.

Denn für x kannst du verschiedene Werte einsetzen und damit die zugehörigen y-Werte berechnen.

y = 2x + 3

x = 0 --> y = 3 --> Punkt A(0; 3)
x = 1 --> y = 5 --> Punkt B(1; 5)
x = 2 --> y = 7 --> Punkt C(2; 7)
....

Es entsteht eine Reihe von Punkten, die alle auf dem Graphen liegen.
Zu dessen Bestimmung genügen natürlich bereits 2, andere Punkte können zur Kontrolle dienen.

[attach]57543[/attach]

Man sieht außerdem, dass die y-Werte um 2 steigen, wenn sich die x-Werte um 1 erhöhen.
Diese beiden Werte bilden das Steigungsdreieck, die Steigung ist (y-Differenz)/(x-Differenz) hier also 2.

Zusammenfassung:
x ist die unabhängige (laufende) Variable der Funktion f(x), beim Einsetzen eines bestimmten Wertes a für x wird an dieser "Stelle" a der Funktionswert f(a) berechnet.
Das Zahlenpaar (a; f(a)) sind die Koordinaten eines Punktes auf dem Graphen.
Im Beispiel f(x) = 2x + 3 ist bei x=a = 1 der Funktionswert (y-Wert) f(1) = 2*1 + 3 = 5 und bezeichnet somit den Punkt (1; 5)

mY+
Grauli Auf diesen Beitrag antworten »

In Ordnung Freude Ich glaub' ich hab's einigermassen verstanden, vielen Dank smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die zuletzt genannten Ausführungen sind grundlegend und betreffen allgemein verschiedene Arten von Funktionstypen.
Im Funktionsterm können sich neben den variablen Größen (x,y) auch verschiedene Konstanten befinden, die sich im Verlauf - im Gegensatz zu x,y - nicht ändern.

In der linearen Funktionsgleichung y = k*x + d sind k, d feste Werte, eben Konstanten (k .. Steigung, d .. Abschnitt auf der y-Achse).
x,y hingegen können veränderliche Werte annehmen, y in Abhängigkeit von x.
Die Funktionsgleichung gibt nun den Zusammenhang zwischen den Variablen x und y wieder, sie beschreibt also, wie sich die abhängige Variable y ändert, wenn sich die unabhängige Variable x ändert.

Wie ersichtlich, beeinflusst eine Änderung von x in keiner Weise die festen Konstanten. In diesem Fall gleitet einfach ein Punkt auf dem Graphen.

Anmerkung zu den Formen:
y = 2x + 3 .. Hauptform der Geradengleichung, nach y umgestellt --> explizite Darstellung
2x - y + 3 = 0 .. implizite Form {f(x,y) = 0}
2x - y = -3 .. Normalform bzw. Koordinatenform

mY+
Grauli Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für Ihre Antwort und die Mühe smile

Nur noch etwas:
Könnte man also sagen, dass m der Proportionalitätsfaktor ist und x bestimmt, wie viele Male dieser Proportionalitätsfaktor "angewendet" werden muss?

Bsp.: 1 Apfel kostet 2,80 Euro. Dann ist der Proportionalitätsfaktor m = 2,80 und x beschreibt die Menge der Äpfel. mx wäre dann der Preis, wenn es sich um eine normale proportionale Funktion handeln würde und wenn es sich um eine lineare Funktion handelt, ist q (der y-Achsenabschnitt) dann der Mindestpreis. Und mx + q ist dann bei der linearen Funktion der Endpreis y.
Stimmt das?

Ich finde es etwas verwirrend, dass m dann sowohl der Proportionalitätsfaktor als auch die Steigung beschreibt. Vor allem, da mit m auch noch das Steigungsdreieck gezeichnet werden kann. Gibt es da einen mathematischen Beweis, der diesen Zusammenhang aufzeigt?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Grauli
...
Ich finde es etwas verwirrend, dass m dann sowohl der Proportionalitätsfaktor als auch die Steigung beschreibt. Vor allem, da mit m auch noch das Steigungsdreieck gezeichnet werden kann.
...

Keine Sorge, es passt alles zusammen!
Du nennst diese lineare Funktion also:

m IST (tatsächlich) sowohl der Proportionalitätsfaktor als auch die Steigung! Denn dies gibt in jedem Falle das Verhältnis der beiden Katheten im Steigungdreieck wieder.

Dieses Verhältnis wird auch Differenzenquotient genannt, es ist der Quotient aus der y-Differenz und der x-Differenz zweier Punkte auf dem Graphen:



Im Zähler und Nenner des Bruches stehen Differenzen, daher kommt die Bezeichnung "Differenzenquotient".

[attach]57547[/attach]
-------------------

Um auf dein Beispiel mit den Äpfeln zurückzukommen, das ist gut gewählt (nur die Äpfel sind mit 2,80 €/Stk etwas teuer Big Laugh ) :
Die Äpfel haben einen festen Preis (2,80 € / Stk), die Kosten y (anstatt Endpreis sagen wir besser variable Kosten) hängen von der Stückzahl (Mengeneinheit) x ab:

.. Einheit von y ist € (Geldeinheit), Einheit von x ist Stück (Mengeneinheit), 2,80 Eur/Stück ist der Stückpreis (Geldeinheit/Mengeneinheit)

Der Preis 2,80 €/Stk sind das immer gleichbleibende Verhältnis zwischen den Kosten und der Stückzahl.
Deswegen hat dieser Preis die Einheit: Eur/Stück (Geldeinheit/Mengeneinheit) und ist daher als Quotient ein Proportionalitätsfaktor.



Bei diesem Kauf ist übrigens der Abschnitt auf der y-Achse gleich 0, denn wenn keine Äpfel gekauft werden, fallen auch keine Kosten an.
Die variablen Kosten sind in diesem Beispiel gleich den Gesamtkosten, denn die Fixkosten sind gleich 0.
In anderen Szenarien kann es durchaus auch dann Kosten geben, wenn nichts verkauft wird, dies sind dann die Fixkosten und diese erscheinen als Abschnitt auf der y Achse:

; k(x) .. Kosten für x; p .. Stückpreis (p €/Stk); f .. Fixkosten

[attach]57548[/attach]

mY+
 
 
Grauli Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen, vielen Dank smile Jetzt verstehe ich es endlich smile smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das war ja auch der Sinn der Sache und das freut! smile
Alles Gute und Grüße

mY+
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