Prinzip des Cavalieri

11.02.2024, 00:31

vtxt1104

Prinzip des Cavalieri

Meine Frage:
Hey Leute folgendes, ich komme noch nicht so ganz mit dem Prinzip des Cavalieri zurecht und würde euch gerne Fragen fragen, wie man da im allgemeinen Vorgeht. Ich habe eine Altklausur Aufgabe gefunden, die Scheinbar mit Cavalieri gelöst wurde. Ich würde sie euch gerne Zeigen und hoffe ihr Könnt mir anhand der Aufgabe das Prinzip des Cavalieri erklären:

Aufgabe:Sei $\begin{eqnarray*} K ={(x,y,z) \in \mathbb{R}^3} : x^2+y^2+z^2 \leq 1, x^2+y^2 \leq z^2, z \geq 0 \end{eqnarray*}$
Berechnen sie das Volumen von K

Die Musterlösung sagt folgendes: Für $\begin{eqnarray*} 0 \leq z \leq \frac{\sqrt {2}}{2} \end{eqnarray*}$ ist der Schnitt $\begin{eqnarray*} K_z \end{eqnarray*}$ in Höhe z durch eine Kreisscheibe mit Radius z gegeben. Für $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt {2}}{2} \leq z \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} K_z \end{eqnarray*}$ eine Kreisscheibe mit Radius $\begin{eqnarray*} \sqrt {1-z^2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wie Man dann das Integral Aussrechnet ist mir Klar, nur weiß ich nicht wie man auf diese Grenzen kommt. Woher kommt das $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ ? Und für mich ist die Anwendung des Prinzips des Cavalieri für beliebige Mengen recht verwirrend. Wäre nett wenn mir jemand anhand der Aufgabe erklären könnte wie das geht smile

11.02.2024, 04:15

klauss

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RE: Prinzip des Cavalieri
Es geht um den Rotationskörper Kegel mit aufgesetztem Kugelsegment.
Im Querschnitt:

[attach]57549[/attach]

Gemäß Bedingung 2 von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ bildet der Kegelmantel einen 45°-Winkel mit der x-y-Ebene, also gilt für die Höhe $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ des Kegels:
$\begin{eqnarray*} a^{2} + a^{2} =1 \end{eqnarray*}$

11.02.2024, 11:39

vtxt1104

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RE: Prinzip des Cavalieri
Danke dir für deine Antowrt, jedoch hilft mir das nicht wircklich weiter. Könntest du mir erklären, wie man allgemein bei Cavalieri vorgeht? Wie gesagt ich finde das noch etwas verwirrend. Und evtl anhand der Aufgabe das Prinzip erkläutern?

11.02.2024, 13:27

mYthos

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RE: Prinzip des Cavalieri

Zitat:

Original von vtxt1104
... jedoch hilft mir das nicht wirklich weiter. Könntest du mir erklären, wie man allgemein bei Cavalieri vorgeht? Wie gesagt ich finde das noch etwas verwirrend. ...

Dann würde ich dir empfehlen, dich zunächst mal allgemein mit dem Prinzip des Cavalieri vertraut zu machen.
Dazu brauchst du einen parallel angeordneten Vergleichskörper, bei dem jeder ebene Schnitt beider Körper eine flächengleiche Schnittfläche erzeugt.
Ein schönes Beispiel gibt es dort.

Duck und weg!
mY+

P.S.: Ich verschiebe das mal in die Geometrie.

11.02.2024, 14:00

klauss

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RE: Prinzip des Cavalieri
Mein Hinweis würde Dir insoweit schon weiterhelfen, als Du damit die Frage beantworten kannst, wo die $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt {2}}{2} \end{eqnarray*}$ herkommen.
Zum Prinzip des Cavalieri solltest Du selbst allgemein nachlesen, wie eben empfohlen.
Wir wissen auch nicht, ob Du schon einen Vergleichskörper hast. Jedenfalls könnte das Volumen von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ mit Kreisscheibenmethode nun berechnet werden durch
$\begin{eqnarray*} V_{K} =\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} } \! z^{2}\pi \, dz+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \! (1-z^{2} )\pi \, dz \end{eqnarray*}$

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