Statistisch minimieren

15.02.2024, 18:21

MMchen60

Statistisch minimieren

Liebe Forumsgemeinde, hier eine Aufgabe aus der Statistik, weiß nicht genau, ob sie zum Thema Analsysis passt.
Aufgabe in der Anlage, Aufgabenteil (i).
Ich dachte, diese Minimierung sei durch ableiten erreichbar, komme auch bis zu einem gewissen Punkt, wo mir beim Nachweis von r als Mittelwert der Messreihe nur noch das $\begin{eqnarray*} \frac {1}{n} \end{eqnarray*}$ fehlt.
Habe ich überhaupt den richtigen Weg eingeschlagen und falls ja, wo liegt mein Fehler?
Vielen Dank für Amtwort.

15.02.2024, 18:35

bochumer

Auf diesen Beitrag antworten »

In der dritten Zeile ist beim Ausklammern das n bei 2nr zu viel, denn die n Summanden stecken ja schon in den y-Termen in der Klammer.

15.02.2024, 18:52

bochumer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ergänzung:

Alternativ kann man auch in der Summe direkt ableiten (Kettenregel) :

$\begin{eqnarray*} J'(r)=\sum_{i=1}^n~2(r-y_i)=2 \cdot \sum_{i=1}^n~r - 2 \cdot \sum_{i=1}^n~y_i=2 \cdot nr - 2 \cdot \sum_{i=1}^n~y_i \end{eqnarray*}$

16.02.2024, 13:57

MMchen60

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bochumer
In der dritten Zeile ist beim Ausklammern das n bei 2nr zu viel, denn die n Summanden stecken ja schon in den y-Termen in der Klammer.

OK, danke, übersehen.
Nun hänge ich aber an Aufgaenteil (ii) und komme da nicht weiter, siehe Anhang. Danbje füpr einen Tipp.

16.02.2024, 14:32

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} J(r) = \sum_{i=1}^n \left|r-y_i\right| \end{eqnarray*}$ ist als Summe endlich vieler stetiger Funktionen auch stetig. Genauer betrachtet besteht sie aus stückweise linearen Funktionen, die an "Knickpunkten" ineinander übergehen. Beleuchten wir das etwas näher: Sei $\begin{eqnarray*} y_1^*,\ldots,y_n^* \end{eqnarray*}$ die aufsteigend geordnete Stichprobe, d.h. $\begin{eqnarray*} y_1,\ldots,y_n \end{eqnarray*}$ wird umindiziert so dass $\begin{eqnarray*} y_1^*\leq y_2^*\leq \ldots \leq y_n^* \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Dann gilt für $\begin{eqnarray*} y_j^*\leq r\leq y_{j+1}^* \end{eqnarray*}$ (unter Einbeziehung von $\begin{eqnarray*} y_0^*:=-\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_{n+1}^*:=\infty \end{eqnarray*}$ ) die Darstellung

$\begin{eqnarray*} J(r) = \sum_{i=1}^j \left(r-y_i^*\right) + \sum_{i=j+1}^n \left(y_i^*-r\right) = (2j-n)r - \sum_{i=1}^j y_i^* + \sum_{i=j+1}^n y_i^* \end{eqnarray*}$

Das bedeutet: In den ersten Intervallen mit $\begin{eqnarray*} j < \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ ist der Geradenanstieg $\begin{eqnarray*} (2j-n) \end{eqnarray*}$ negativ, für $\begin{eqnarray*} j=\frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ (was nur für gerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vorkommen kann) ist der Anstieg Null, und für $\begin{eqnarray*} j > \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ ist er positiv. (Anzumerken ist, dass ein solches Intervall im Fall $\begin{eqnarray*} y_j^*=y_{j+1}^* \end{eqnarray*}$ die Länge Null aufweist, und dann nur aus einem Punkt besteht - in diesem Fall ist der Anstieg bedeutungslos.)

Wo wird angesichts dieser Anstiege das Minimum der stückweise linearen Funktion $\begin{eqnarray*} J(r) \end{eqnarray*}$ liegen?

16.02.2024, 20:02

bochumer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein wunderbar nachvollziehbarer und ebenso anschaulicher Lösungsweg, wie ich finde Freude

Ich hatte gestern auch noch überlegt, wie man die Behauptung in (ii) nachweisen kann.

Meine Gedanken gingen in die Richtung, dass man gemäß der Betragsdefinition anstreben könnte, dass sich die r-Summanden im Optimalfall (hier also für ein gefordertes Minimum) gegenseitig aufheben, also zu Null ergänzen.
Je nach Vorzeichen im Betrag entstünde entweder +r oder -r.

Falls n gerade ist, dann würden sich die r's aufheben, wenn es n/2 Mal zu r>yi und n/2 Mal zu r<yi kommt.

Falls n ungerade und damit n-1 gerade ist, dann würden sich die r's aufheben, wenn es (n-1)/2 Mal zu r>yi und (n-1)/2 Mal zu r<yi kommt und zusätzlich im verbleibenden Summanden r=yi gelten würde.

Die erwähnten Eigenschaften/Bedingungen erfüllt per Definition genau der Median der gegebenen n Daten.

Ist das auch ein gangbarer Weg oder ist das zu schwammig ? verwirrt

17.02.2024, 09:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Illustration mal der Plot von J für die Stichprobe 1,3,4,6,9, also $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ Werte:

Und nun für die $\begin{eqnarray*} n=6 \end{eqnarray*}$ Werte 1,3,4,6,8,9:

17.02.2024, 09:54

MMchen60

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Zur Illustration mal der Plot von J für die Stichprobe 1,3,4,6,9, also $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ Werte:

Meinen besten Dank an dich und auch an den Bochumer. Ist ne tolle Lösung und ich habe zusätzlich gelernt, wie man mit LaTex plottet. :-)

Neue Frage »

Antworten »

Statistisch minimieren

Verwandte Themen