Für welches z in C ist die Potenzreihe absolut konvergent?

19.02.2024, 13:07	LeGoster	Auf diesen Beitrag antworten »
Für welches z in C ist die Potenzreihe absolut konvergent? Hallo zusammen Ich bin gerade dabei eine Aufgabe zur absoluten Konvergenz einer Potenzreihe zu machen. Nur bin ich mir nicht sicher ob das so richtig ist. Es geht um folgende Potenzreihe: $\begin{eqnarray} \sum \limits_{k=0}^{\infty}e^{-k+k^{3}+k^2+1}z^k \end{eqnarray}$ . Meine Idee ist, das Wurzelkriterium anzuwenden. Dabei erhalte ich: $\begin{eqnarray} \|e^\frac{-k+k^3+k^2+1}{k}\| \end{eqnarray}$ . Wenn ich jetzt das k gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ laufen lasse erhalte ich: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{k\to\infty}\| e^\frac{-k+k^3+k^2+1}{k}\| = e^{\infty} = \infty \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ > 1 ist, ist die Potenzreihe nach dem Wurzekriterium divergent. Dadurch würde es ja kein z $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ C geben, sodass die Potenzreihe $\begin{eqnarray} \sum \limits_{k=0}^{\infty}e^{-k+k^{3}+k^2+1}z^k \end{eqnarray}$ absolut konvergent ist. Ist das so korrekt oder habe ich einen Denkfehler? Gruß LeGoster
19.02.2024, 13:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für welches z in C ist die Potenzreihe absolut konvergent? Eine disaströs-divergente Reihe. Ja, die Reihe konvergiert (fast) nirgendwo. Allerdings konvergiert jede Potenzreihe für $\begin{eqnarray} z= 0 \end{eqnarray}$ trivialerweise. Aber das ist wirklich schon das einzige, wie du gezeigt hast.
19.02.2024, 15:42	LeGoster	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, danke für die schnelle antwort. War mir sonst nicht sicher ob ich mit meiner Aussage richtig lag.
20.02.2024, 08:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Anblick dieser Reihe geht mir folgendes durch den Kopf: Gibt es die Begriffe Divergenzgeschwindigkeit bzw. Divergenzordnung?

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