Endliche Folgen vereinigen

19.02.2024, 23:12

Malcang

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Endliche Folgen vereinigen

Hallo zusammen smile

smile

Es geht mal wieder um die Proth'schen Zahlen ( Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ der Form $\begin{eqnarray*} n = h\cdot 2^k+1, 1\leq h \leq 2^k-1, h\text{ ungerade} \end{eqnarray*}$ ).
Diese würde ich gerne als Folge angeben und zwar so, dass zuerst nach dem Exponten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ geordnet wird, und dann nach dem Koeffizienten $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ . Dies ergibt mir ja die Folge
$\begin{eqnarray*} (1\cdot 2^1+1, 1\cdot 2^2+1, 3\cdot 2^2+1, 1\cdot 2^3+1, ....) \end{eqnarray*}$ .
Nun hatte ich überlegt, ob ich das als Vereinung von endlichen Folgen schreiben kann:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl. Dann ist $\begin{eqnarray*} (h\cdot 2^k+1)_{1 \leq h \leq 2^k-1, h\text{ ungerade }} \end{eqnarray*}$ die endliche Folge aller Proth'schen Zahlen mit dem Exponenten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$

Die komplette Folge bekäme ich dann über $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{k\in\mathbb N} (h\cdot 2^k+1)_{1 \leq h \leq 2^k-1, h\text{ ungerade }} \end{eqnarray*}$ .

Aber ich frage mich, ob das so geht. Ist nicht diese Vereinigung nun $\begin{eqnarray*} ((1\cdot 2^1+1), (1\cdot 2^2+1, 3\cdot 2^2+1), (1\cdot 2^3+1, ....) \end{eqnarray*}$ ?

Wie könnte ich das sauber definieren?

Ich dachte auch an $\begin{eqnarray*} (h\cdot 2^k+1)_{k\in\mathbb N \\ 1 \leq h \leq 2^k-1, h\text{ ungerade }} \end{eqnarray*}$ , was ja nicht nur furchtbar aussieht. Ich bin mir aber auch nicht sicher ob das stimmt, denn durchläuft $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ hier die natürlichen Zahlen aufsteigend, beginnend bei $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ? Oder heißt das "hauptsache alle k werden durchlaufen"?

20.02.2024, 08:01

HAL 9000

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RE: Endliche Folgen vereinigen
Der Vereinigungsoperator $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ ist nicht geeignet, Folgen aneinanderzuketten mit definierter Indizierung. Mit

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{k\in\mathbb{N}} \left\{ h\cdot 2^k+1 \bigm| 1\leq h\leq 2^k-1, h\mbox{ ungerade } \right\} = \left\{ h\cdot 2^k+1 \bigm| k\in\mathbb{N}, 1\leq h\leq 2^k-1, h\mbox{ ungerade } \right\} \end{eqnarray*}$

bekommst du lediglich alle Prothschen Zahlen als Menge (d.h. ohne Ordnungsstruktur), was anscheinend nicht dein Ansinnen ist.

Ich hatte eigentlich gedacht, in diesem Thread wäre das alles erschöpfend ausdiskutiert worden? Erstaunt1

Erstaunt1

20.02.2024, 09:29

Malcang

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RE: Endliche Folgen vereinigen
Hallo HAL, vielen Dank für deine Zeit!

Zitat:

Original von HAL 9000
Der Vereinigungsoperator $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ ist nicht geeignet, Folgen aneinanderzuketten mit definierter Indizierung. Mit

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{k\in\mathbb{N}} \left\{ h\cdot 2^k+1 \bigm| 1\leq h\leq 2^k-1, h\mbox{ ungerade } \right\} = \left\{ h\cdot 2^k+1 \bigm| k\in\mathbb{N}, 1\leq h\leq 2^k-1, h\mbox{ ungerade } \right\} \end{eqnarray*}$

bekommst du lediglich alle Prothschen Zahlen als Menge (d.h. ohne Ordnungsstruktur), was anscheinend nicht dein Ansinnen ist.

Das hatte ich befürchtet unglücklich

unglücklich

Denn in der Tat brauche ich diese Folge angeordnet.
Kann ich denn mit dem Doppelindex arbeiten?

Zitat:

Original von HAL 9000
Ich hatte eigentlich gedacht, in diesem Thread wäre das alles erschöpfend ausdiskutiert worden? Erstaunt1

Erstaunt1

Das ist an sich auch richtig smile

smile

Der Hintergrund ist folgender: In meiner Ausarbeitung der Proth'schen Zahlen führe ich diese ja mit den zwei Parametern $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h<2^k \end{eqnarray*}$ .
Im weiteren Verlauf möchte ich dann auf die explizite Darstellung kommen. Und auch das konnte ich mich deiner Hilfe im anderen Thread erledigen.
Was ich nun vorhatte war, diese Folgenvorschrift mit dem Doppelindex als Bindeglied zwischen diesen beiden genannten Themen zu nehmen.
Vielleicht kann ein (unvollständiger) Screenshot das besser erklären:
[attach]57575[/attach]
Bis zu Def 4.1.9 kennt man also die Proth'schen Zahlen nur durch ihre beiden Parameter.
Def 4.1.9 und 4.1.10 ist meine Frage hier in diesem Thread, das "Bindeglied".
Und mit dem folgenden Lemma und dem Satz kann ich dann die explizite Formel zeigen (erledigt).

20.02.2024, 10:21

HAL 9000

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Na sieht doch soweit ganz gut aus.

Der Sinn von 4.1.10 erschließt sich mir nicht, da hast du wohl noch irgendwas vor (sieht bisher irgendwie fragmentarisch aus)? Ansonsten sehe ich da keinen Mehrwert zu 4.1.9.

$\begin{eqnarray*} \left(h\cdot 2^k+1\right)_{k\in\mathbb{N},1\leq h\leq 2^k-1,h\textrm{ ungerade}} \end{eqnarray*}$ hätte ich da eher verstanden, d,h. inklusive und zuvorderst das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

20.02.2024, 10:25

Malcang

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Zitat:

Original von HAL 9000
Na sieht doch soweit ganz gut aus.

Danke sehr smile

smile

Zitat:

Original von HAL 9000
Der Sinn von 4.1.10 erschließt sich mir nicht, da hast du wohl noch irgendwas vor (sieht bisher irgendwie fragmentarisch aus)? Ansonsten sehe ich da keinen Mehrwert zu 4.1.9.

Oh, das hätte ich natürlich erwähnen soillen: An dieser Stelle stand vorher die Vereinigung aus dem Eingangspost. Aber dann dachte ich, ich gehe mal auf einen Doppelindex (den ich, wie ich sehe, hier auch noch vergessen habe Hammer

Hammer

)
Falls es also mit dem Doppelindex ginge, würde ich Def. 4.1.9. vielleicht sogar weglassen.

Den Doppleindex würde ich dann schreiben als $\begin{eqnarray*} (h\cdot 2^k+1)_{k\in\mathbb N \\ 1 \leq h \leq 2^k-1, h\text{ ungerade }} \end{eqnarray*}$ .
Ist das korrekt?

20.02.2024, 11:19

HAL 9000

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Ja, das hat sich mit meinem EDIT zum letzten Beitrag überkreuzt.

Man könnte das ganze gerafft auch so beschreiben: Für Folgenindex $\begin{eqnarray*} i\geq 1 \end{eqnarray*}$ kann man $\begin{eqnarray*} k(i) = \left\lfloor \log_2(i) \right\rfloor \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} c(i) = i - 2^{k(i)} \end{eqnarray*}$ definieren und damit dann Folgenglied $\begin{eqnarray*} n(i) = \left(2c(i)+1\right)\cdot 2^{k(i)+1}+1 \end{eqnarray*}$ darstellen. Alternativ ginge auch $\begin{eqnarray*} h(i) = 2i+1 - 2^{k(i)+1} \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} n(i) = h(i)\cdot 2^{k(i)+1}+1 \end{eqnarray*}$ .

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20.02.2024, 13:33

Malcang

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Hallo HAL,

ah, ich hatte deinen EDIT übersehen. Ich denke, ich würde dann die Folge erstmal definieren wie hier, mit dem Doppelindex.

Mein Ziel ist es, dass der Leser bis zu dieser Stelle kommt und feststellt, dass man diese Folge $\begin{eqnarray*} (3,5,13,9,25...) \end{eqnarray*}$ nicht ohne weiteres von einem Index $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ abhängig machen kann.
Dann definiere ich die Folge mit dem Doppelindex.
Und danach stelle ich die Behauptung auf, das es mit der genannten Formel eben doch in einem Index geht. Dazu zeige ich dann den Beweis aus dem anderen Thread und der Leser siehr die Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} (h,k) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ als Indizes.
Das meinte ich mit "Bindeglied".

20.02.2024, 17:37

Malcang

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Vielleicht gebe ich nochmal eine andere Erklärung:
Mein Ziel ist es ja einen Satz zu schreiben wie "Wir geben eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_i)_i \end{eqnarray*}$ der Proth'schen Zahlen derart, dass diese zuerst nach ihrem Exponent und dann nach ihrem Koeffizienten geordnet sind".
Aber das erscheint mir nicht nur sehr umständlich, sondern auch anfällig für Missverständnis.

Und daher dachte ich, führe ich das eben über die Vereinigung der endlichen Folgen an.
Das hat sich ja nun auch als falsch herausgestellt.

Aber hast du, HAL, und natürlich auch alle anderen, vielleicht Ideen, wie ich das sonst "sauber und simpel" machen könnte?

20.02.2024, 19:34

IfindU

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Ich frag mich ob es das sauber definiert: Seien $\begin{eqnarray*} (P_n) \end{eqnarray*}$ die Aufzählung der Proh'schen Zahlen mit $\begin{eqnarray*} P_n = h_n \cdot 2^{k_n} + 1 \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} n < m \iff (k_n = k_m \wedge h_n < h_m) \vee (k_n < k_m) \end{eqnarray*}$ . Der Tag war lang, aber aufgrund der Ungeradheit von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ müsste die Zuordnung "Proth'sche Zahl zu Paar $\begin{eqnarray*} (h,n) \end{eqnarray*}$ " eindeutig sein, oder? verwirrt

verwirrt

20.02.2024, 19:59

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

N'abend IfindU smile

smile

,

Zitat:

Original von IfindU
Ich frag mich ob es das sauber definiert: Seien $\begin{eqnarray*} (P_n) \end{eqnarray*}$ die Aufzählung der Proh'schen Zahlen mit $\begin{eqnarray*} P_n = h_n \cdot 2^{k_n} + 1 \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} n < m \iff (k_n = k_m \wedge h_n < h_m) \vee (k_n < k_m) \end{eqnarray*}$ . Der Tag war lang, aber aufgrund der Ungeradheit von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ müsste die Zuordnung "Proth'sche Zahl zu Paar $\begin{eqnarray*} (h,n) \end{eqnarray*}$ " eindeutig sein, oder? verwirrt

verwirrt

Nein, so stimmt es leider nicht. Die Aufzählung beginnt mit $\begin{eqnarray*} (1\cdot 2^1+1, 1\cdot 2^2+1, 3\cdot 2^2+1, 1\cdot 2^3+1,...) \end{eqnarray*}$ , bei den letzten beiden geht es schief.
Schade, den Ansatz finde ich sehr schön, in diese Richtung habe ich gar nicht gedacht. Aber leider auch keine Idee wie man es retten kann unglücklich

unglücklich

20.02.2024, 20:08

IfindU

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Ich schaue mal morgen noch einmal drauf, weil ich ehrlich gesagt kein Problem sehe. Es also so aussieht wie ich dachte es aussehen soll. Das kann aber auch sehr gut an mir gerade liegen.

20.02.2024, 20:11

Malcang

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Oder an mir Big Laugh

Big Laugh

Ich danke dir aber sehr für deine Zeit und gehe jetzt auch mal ins Bett Big Laugh

Big Laugh

21.02.2024, 12:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malcang
$\begin{eqnarray*} n < m \iff (k_n = k_m \wedge h_n < h_m) \vee (k_n < k_m) \end{eqnarray*}$ .

Ist schon richtig. Ich hätte auch fast gesagt "lexikographische Ordnung für das Paar $\begin{eqnarray*} (k,h) \end{eqnarray*}$ ", aber das ist vielleicht nicht die passende Analogie, da im vorliegenden Fall der Wertebereich $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ abhängt.

21.02.2024, 13:56

Malcang

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Malcang
$\begin{eqnarray*} n < m \iff (k_n = k_m \wedge h_n < h_m) \vee (k_n < k_m) \end{eqnarray*}$ .

Ist schon richtig. Ich hätte auch fast gesagt "lexikographische Ordnung für das Paar $\begin{eqnarray*} (k,h) \end{eqnarray*}$ ", aber das ist vielleicht nicht die passende Analogie, da im vorliegenden Fall der Wertebereich $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ abhängt.

Wo liege ich falsch? verwirrt

verwirrt

Sagen wir, $\begin{eqnarray*} k_n = k_m \end{eqnarray*}$ . Dann ist natürlich $\begin{eqnarray*} n<m \Leftrightarrow h_n <h_m. \end{eqnarray*}$

Aber sei nun $\begin{eqnarray*} k_n \neq k_m. \end{eqnarray*}$ Dann soll also gelten $\begin{eqnarray*} n<m\Leftrightarrow k_n<k_m. \end{eqnarray*}$ Aber dafür gibt es doch ein Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} 31\cdot 2^5 + 1\not< 1\cdot 2^6+1 \end{eqnarray*}$

Edi
Ich habe mal gerechnet $\begin{eqnarray*} h_n\cdot 2^{k_n} + 1 < h_m\cdot 2^{k_m} + 1 \Leftrightarrow h_n\cdot 2^{k_n} < h_m\cdot 2^{k_m}. \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} k_n = k_m \end{eqnarray*}$ folgt natürlich $\begin{eqnarray*} h_n = h_m. \end{eqnarray*}$
Seien nun die Exponenten verschieden. Dann folgt $\begin{eqnarray*} \frac{h_n}{h_m}<2^{k_m - k_n} \end{eqnarray*}$ . Das sieht natürlich nicht sehr elegant aus. Trifft es denn den Kern?

21.02.2024, 14:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malcang
Aber sei nun $\begin{eqnarray*} k_n \neq k_m. \end{eqnarray*}$ Dann soll also gelten $\begin{eqnarray*} n<m\Leftrightarrow k_n<k_m. \end{eqnarray*}$ Aber dafür gibt es doch ein Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} 31\cdot 2^5 + 1\not< 1\cdot 2^6+1 \end{eqnarray*}$

Irgendwie verwechselst du hier was: Es werden doch nicht die Prothschen Folgenwerte verglichen, sondern nur die Indizes. unglücklich

unglücklich

Von

$\begin{eqnarray*} P_n < P_m \stackrel{?}{\iff} (k_n = k_m \wedge h_n < h_m) \vee (k_n < k_m) \end{eqnarray*}$

hat keiner gesprochen - zu Recht, denn es ist ja falsch. unglücklich

unglücklich

21.02.2024, 14:06

Malcang

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Seh ich ein, HAL, danke für den Hinweis.
Über die Formel muss ich aber trotzdem nochmal nachdenken unglücklich

unglücklich

21.02.2024, 14:23

HAL 9000

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Hmm, nach meinem Dafürhalten ist das eigentlich alles schon mehr als ausdiskutiert. Ich erwähne dennoch nochmal folgendes:

Die "gültigen" Paare $\begin{eqnarray*} (k,c) \end{eqnarray*}$ lexikographisch aufsteigend geordnet

(0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (2,2), (2,3), (3,0), (3,1), ...

werden zu lückenlosen natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ umindiziert

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...

Die passenden Formeln dieser Bijektion

$\begin{eqnarray*} k,c \to n=2^k+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n \to k=\left\lfloor \log_2\left(n\right)\right\rfloor,~c=n-2^k \end{eqnarray*}$

sind nun schon oft genug genannt worden, außerdem besteht der einfache Zusammenhang $\begin{eqnarray*} h=2c+1\leftrightarrow c=\frac{h-1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Die zugeordneten Proth'schen Werte $\begin{eqnarray*} P_n = h\cdot 2^{k+1}+1 = (2c+1)\cdot 2^{k+1}+1 \end{eqnarray*}$ haben mit dieser Umindiziererei primär gar nichts zu tun.

Wo verdammt nochmal ist hier noch so ein solch großer Diskussionsbedarf? Also mir kommt das schon zu den Ohren raus, dieses zigmalige Hin- und Herwälzen des doch eigentlich ziemlich banalen.

21.02.2024, 16:22

Malcang

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Ich kann verstehen dass dich das nervt HAL. Ich sehe ja auch ein das ich sehr spitzfindig frage, und oft auch durcheinander Hammer

Hammer

Es geht mir hier auch nicht um den Beweis, dass diese Bijektion stimmt. Den habe ich verstanden. Es geht mir nur darum, eine vernünftige Definition dieser Folge anzubringen. Oder anders gesagt: Ich möchte nicht so etwas schreiben wie

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} (P_n)_n = (1\cdot 2^1+1, 1\cdot 2^2+1, 3\cdot 2^2+1, 1\cdot 2^3+1, \dots) \end{eqnarray*}$

da uns mal gesagt wurde, die Pünktchen vermeiden wo es nur geht. Auch wenn es hier dem Leser sicherlich klar ist was gemeint ist.
Die Schreibweise von IfindU finde ich dann wiederum sehr angenehm, weil sie halt analytisch ausdrückt, was ich nicht in der Lage bin auszudrücken. Ich habe sie nur noch nicht richtig verstanden, aber daran arbeite ich ja.

21.02.2024, 17:54

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie HAL gesagt habe, sortiere ich nicht die Proth'sche Zahlen gemäß der Ordnung auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , denn das entspricht nicht dem Wunsch alle $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ für gegebenes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ durchzulaufen, um dann zum nächsten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ zu laufen.

Meine Formel gibt dir auch keine explizite Darstellung der Folge. ich definiere bloss die Ordnung anhand der beiden Parameter der Prot'schen Folge, $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Und die ganze Definition der Ordnung sagt nur "Wenn du später in dieser Ordnung der Proth'schen Folge bist, dann bist du entweder mit dem gleichen Exponenten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ unterwegs, hast aber ein größeres $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ . Oder du hast einfach einen größeren Exponenten".

Das ist nur minimal logisch kodiert. A priori wäre ja nicht einmal klar, dass man die Folge überhaupt so anordnen kann. Wenigstens ich hab nur meine Wunschliste einer Ordnung angeschrieben. Weitere Überlegen (z.B. durch explizite Darstellung der Folge wie HAL) beweisen, dass es so eine Folge . Abstrakt kann man immer argumentieren, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ nur endlich viele $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ gibt. Weiter muss man sich auch erstmal überlegen, dass es auch die Anordnung auch eindeutig schreibt.

Bspw. statt
$\begin{eqnarray*} n < m \iff (k_n = k_m \wedge h_n < h_m) \vee (k_n < k_m) \end{eqnarray*}$
zu nehmen, könnte man versuchen zu definieren
$\begin{eqnarray*} n < m \iff (h_n = h_m \wedge k_n < k_m) \vee (h_n < h_m) \end{eqnarray*}$
und würde erschreckend feststellen, dass es keine Anordnung der Proth'schen Zahlen danach gibt. (Vorausgesetzt ich habe keinen Denkfehler).

29.02.2024, 16:40

Malcang

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Da bin ich nochmal smile

smile

Ich brauchte nochmal etwas Abstand von diesem Thema, aber habe mich jetzt wieder mit frischer Energie dran gesetzt.
Euren Ratschlag habe ich befolgt und die Folge nun so definiert:
[attach]57594[/attach]

Was sagt ihr dazu? smile

smile

29.02.2024, 16:57

IfindU

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In der Definition ist unklar, dass die Paare $\begin{eqnarray*} (k_n, h_n) \end{eqnarray*}$ alle zulässigen Tupel durchlaufen sollen. So ist bspw. $\begin{eqnarray*} k_n = h_n = 1 \end{eqnarray*}$ konstant eine mögliche Folge die man in deinem ersten Satz meinen könnte. Du wirst brauchen, dass es eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{ (k, h) | ... \} \end{eqnarray*}$ gibt, mit den üblichen Bedingungen an $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ .

Ich hab es indirekt gemacht, weil zwischen den Mengen $\begin{eqnarray*} \{ (k, h) | ... \} \end{eqnarray*}$ und den Proth'schen Zahlen eine Bijektion gibt.

29.02.2024, 17:22

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich tue mir mal wieder zu schwer, aber ich glaube dass ich es verstanden habe.
Weiter vorne habe ich die Proth'schen Zahlen ja ohenhin bereits definiert, dann könnte ich jetzt hier also darauf verzichten. Das hast du in deinem ersten Post hier ja auch gemacht. Du sagst eben "Sei $\begin{eqnarray*} (P_n)_n \end{eqnarray*}$ die Aufzählung der Proth'schen Zahlen derart, dass...".
Dann würde ich es so machen (jetzt mit Beweis der Bijektion):
[attach]57596[/attach]
[attach]57597[/attach]

29.02.2024, 19:37

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das so ok?

01.03.2024, 08:40

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Grundsätzlich ja. Ich würde aber nicht den Proth'schen Zahlen 3 Namen geben: Oben $\begin{eqnarray*} P_n \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} n(i) \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} (a_i) \end{eqnarray*}$ . Insb. wenn du vorher $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als index benutzt hast und das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ vom Himmel fällt.

01.03.2024, 08:54

Malcang

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Ich danke die sehr, den Einwand kann ich natürlich völlig nachvollziehen. Ich werde das korrigieren und auch sonst nochmal etwas umstrukturieren und das hier zeigen. Würde mich über dein/euer Feedback sehr freuen smile

smile

01.03.2024, 11:10

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Und da bin ich wieder. Ich habe nun ein paar Änderungen vorgenommen. Vor allem habe ich die Indizes i und j genannt, da $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ im Allgemeinen eine Proth'sche Zahl bezeichnet (in meiner Ausarbeitung).
Ich frage mich gerade ob es gut ist, im Beweis den festen Koeffizienten mit $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ zu bezeichnen. Denn das deutet ja an, dass der Index $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gewählt werden könnte verwirrt

verwirrt

Hier einmal meine neue Darstellung:
[attach]57600[/attach]

Ich möchte insbesondere nochmal betonen -vor allem auch falls HAL noch mitliest - das ich den Inhalt durchauch verstanden habe. Mein großes Problem ist der Formalismus. Ich versuche alles so aufzubauen, dass sogar Edmund Landau sagen würde "Das ist ok". Im Grunde soll es keinen Spielraum für Interpretationen geben, auch wenn ich weiß das der Leser sich denkt "Ah ja, das steht zwar nicht 100% korrekt da, aber man weiß, was gemeint ist".

01.03.2024, 12:03

IfindU

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Sieht schon viel besser aus Freude

Freude

Bei Definition 4.1.9 hast du allerdings $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ geschrieben. Das wäre einzige Anmerkung. Und $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ ist üblich für festes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

02.03.2024, 11:51

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr IFindU, das habe ich abgeändert.
Beim nochmaligen Lesen frage ich mich gerade, ob ich in der Defintion nicht eher schreiben sollte:
[QUOTE]Es sei $\begin{eqnarray*} (P_i)_i \end{eqnarray*}$ diejenige Aufzählung der Proth'schen Zahlen derart, dass für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} i,j \end{eqnarray*}$ die lexikographische Anordung [...][QUOTE]

Was sagst du dazu?

02.03.2024, 12:15

IfindU

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Kannst du gerne ergänzen. Was mir noch auffällt gerade: Die $\begin{eqnarray*} k, h \end{eqnarray*}$ in der Definition fallen vom Himmel. Man sollte noch sagen, dass $\begin{eqnarray*} P_i = h_i 2^{k_i} + 1 \end{eqnarray*}$ ist, damit die Verbindung zwischen $\begin{eqnarray*} P_i,k_i,h_i \end{eqnarray*}$ klar ist.

02.03.2024, 13:09

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr, wieder ein sehr guter Hinweis!

[attach]57601[/attach]

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