Umfang minimieren

23.02.2024, 08:53

CInzio22

Umfang minimieren

Hallo zusammen

Ich habe folgende Aufgabe:
Der Abwasserkanal (s. Anhang) hat eine Querschnittsfläche von 3 m².
Wie groß ist der Radius r des aufgesetzten Halbkreises, wenn
der Umfang U minimal sein soll.

[attach]57579[/attach]

Kann man diese Aufgabe _nur_ mit Scheitelpunktform lösen? (nicht mit ableiten)

Was ich mir überlegt habe:
A= 3 = a*b + (pi * r^2)/2 = ab + (pi * a^2)/8

Dann lautet die Zielfunktion: a + 6/a - (pi*a)/4 + (pi*a)/2

Das ist allerdings keine quadratische Gleichung, womit ich die Scheitelpunktform gar nicht anwenden kann.. :/

Danke für jede Hilfe. smile

23.02.2024, 10:14

nichteuerernst

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RE: Umfang minimieren

Zitat:

Das ist allerdings keine quadratische Gleichung,

Stimmt. Das ist nur ein Term. Und wenn du jetzt schreibst: Dieser Term soll den Wert ... annehmen

dann hast du eine Gleichung. Wie sieht diese Gleichung aus? Ist sie vielleicht doch quadratisch?

23.02.2024, 11:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von CInzio22
Das ist allerdings keine quadratische Gleichung, womit ich die Scheitelpunktform gar nicht anwenden kann.. :/

Richtig, es ist keine quadratische Funktion in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ - allerdings lässt sich eine Minimumbestimmung durch Abtrennung eines vollständigen Quadrats erreichen:

$\begin{eqnarray*} U = \left(\frac{\pi}{4}+1\right)a + \frac{2A}{a} = \left[ \sqrt{\left(\frac{\pi}{4}+1\right)a} - \sqrt{\frac{2A}{a}}\right]^2 + \sqrt{2\left(\pi+4\right)A} \end{eqnarray*}$

mit Minimum für $\begin{eqnarray*} \sqrt{\left(\frac{\pi}{4}+1\right)a} - \sqrt{\frac{2A}{a}} = 0 \end{eqnarray*}$ , was sich nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ umstellen lässt.

P.S.: Da sich die Problemstellung auf Zielgröße $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ bezieht, hätte ich von Anfang an alles via $\begin{eqnarray*} a=2r \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ umgerubelt. Damit entfällt zum Schluss die Überleitung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

23.02.2024, 12:09

adiutor62

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RE: Umfang minimieren
a*b+ 1/2*(a/2)^2*pi = 3

b = ...

U= a+2b+ (a/2)*pi

U(a) = ...

Berechne dann:

U'(a) = 0

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