Folgen mit n im Exponent nach oben oder unten abschätzen

24.02.2024, 14:23	Where is my hug	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen mit n im Exponent nach oben oder unten abschätzen Meine Frage: Ich habe dazu bis jetzt noch nichts im Internet gefunden deswegen frage ich mal hier. Also wenn man beweisen möchte das eine Folge konvergiert mit dem Epsilon Kriterium oder beweisen möchte das eine Folge bestimmt divergiert, weiß ich nie weiter wenn das (n) in der Folge im Exponenten ist, gegen was ich es abschätzen könnte. Ich muss halt einen Folgeglied(N0) bestimmen, ab dem meine Behauptung gilt. Aber wenn ich das (n) in meiner Folge mit dem Folgeglied N(0) abschätze, weiß ich zum Beispiel nicht wie ich das N(0) nun in Abhängigkeit vom Epsilon oder irgendwelchen Schranken umformen kann. Meine Ideen: Also Ich weiß nicht ob ihr wisst was ich meine deswegen mal hier ein Beispiel: Zu beweisen: 1/7^(n) --> 0, für n --> ?. Ich werde das mit dem Epsilon Kriterium machen. \|1/7^(n)-0\|= 1/7^(n) ? 1/7^(N0). Ab hier weiß ich nicht weiter, weil ich würde jetzt eigentlich die Gleichung 1/7^(N0)<? nach (N0) auflösen wollen, so dass ich weiß als was (N0) in Abhängigkeit von ? gewählt werden muss aber ich weiß nicht wie. Müsste ich dann mit den Logarithmus Gesetzen arbeiten? Oder gibt es einfachere Abschätzungen die man machen kann damit ich nicht (N0) im Exponenten habe. Das war jetzt nur ein Beispiel, weil ich immer an Aufgaben Typen mit (n) im Exponenten am verzweifeln bin.
24.02.2024, 19:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar, logarithmieren - was sonst (das Schulwissen dazu ist wohl zu lange her)? Welchen Logarithmus nimmt, ist egal - ich nehme hier den natürlichen. Und man nutzt dabei $\begin{eqnarray} \ln\left(a^b\right) = b\ln(a) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{1}{7^n} = 7^{-n} < \varepsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -n\ln(7) < \ln(\varepsilon) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n > -\frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(7)} \end{eqnarray}$
24.02.2024, 20:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich ist evident, dass fortgestztes Potenzieren von Basen kleiner als 1 zu immer kleineren Zahlen führt, bis das Ganze schließlich gegen null geht. Denn jede Zahl a kleiner als 1 kann als 1/b mit b>1 geschrieben werden. Und die Potenzen von b gehen gegen Unendlich. Nach den Grenzwertsätzen ist dann der Grenzwert von a = 1/b gleich null. -------------------- Mit dem Epsilon-Kriterium ist bei deinem Beispiel $\begin{eqnarray} \|(\frac 1 7)^n\| < \epsilon; \quad 0 < \epsilon < 1 \end{eqnarray}$ (Epsilon soll klein und positiv sein). Wir wählen mal $\begin{eqnarray} \epsilon = \frac 1 {100} = 0,01 \end{eqnarray}$ und prüfen, ob die Ungleichung für fast alle* natürlichen n gilt () unendlich viele n, ausgenommen endlich viele, d.h. für alle n ab einen Index $\begin{eqnarray} N_{\epsilon} \end{eqnarray}$ soll die Ungleichung erfüllt sein. Die Ungleichung wird logarithmiert, hier mit dem dekadischen Logarithmus $\begin{eqnarray} log_{10} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n \lg (\frac 1 7) < -2 \end{eqnarray}$ , dies gilt wegen der streng steigenden Monotonie der Logarithmusfunktion $\begin{eqnarray} - n \cdot \lg 7 < -2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n \cdot \lg 7 > 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n > \frac 2 {\lg 7} = 0,0029 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n > 2,3666 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} N_{\epsilon} = 3 \end{eqnarray*}$ --> Ab dem Index n = 3 liegen alle Folgenglieder innerhalb der Umgebung 0,01 von 0, somit geht die Folge gegen Null. mY+

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