Flächeninhalt eines Vierecks im unregelmäßigen Fünfeck

24.02.2024, 14:53	vani1212	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt eines Vierecks im unregelmäßigen Fünfeck Meine Frage: Hallo liebe Forumsgemeinde, mich beschäftigt seit längerem (ein Jahr um genau zu sein) ein Mathematisches Problem. Es handelt sich um eine Aufgabe aus dem Mathekänguru 2023. Es geht um ein unregelmäßiges Fünfeck, das in sieben Teile geteilt wurde, sechs davon sind Dreiecke, deren Flächeninhalt gegeben ist. In der Mitte des Fünfecks bleibt ein Viereck übrig, dessen Flächeninhalt es gilt herauszufinden (siehe Bild). Und nachdem mich dieses Problem jetzt langsam Wahnsinnig macht, dachte ich, ich nutze meine Vorlesungsfreie Zeit mal und hoffe, dass ihr mir helfen könnt? Meine Ideen: Ich hab wirklich eeewig überlegt, wie man an die Aufgabe herangehen könnte und da der Test für die 11.-13. Klasse konzipiert ist, dachte ich man muss sowas wie Innenwinkelsumme, Satz des Pythagoras, Heronsformel, Sin Cos Tan anwenden, haut aber alles nicht hin - oder ich machs falsch hahaha. Vielen Dank schon mal!!
24.02.2024, 18:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeichne zunächst die fehlende Diagonale ein. Dadurch zerfällt das unbekannte Viereck ebenfalls in zwei Dreiecke. Danach nütze die Eigenschaft, dass sich bei zwei Dreiecken mit gemeinsamen Grundlinien und gleicher Höhe die Grundlinien wie die Flächen verhalten. () Nach kurzer Rechnung habe ich für das rechte Dreieck die Fläche 10 und für das linke Dreick die Fläche 6 erhalten ... Allerdings weiß ich im Moment nicht, ob ich mich nicht doch wo verrechnet habe .... Kannst du nun das Resultat verifizieren? mY+
24.02.2024, 20:23	vani1212	Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort B, also 16, ist tatsächlich korrekt! Ich kann nur leider deinen Rechenweg noch nicht so ganz nachvollziehen, könntest du es mir noch mal erklären? Welche Regel hast du angewendet, dass du auf die Lösung gekommen bist? Dankeschön! Vani
24.02.2024, 21:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin von folgender Skizze ausgegangen: [attach]57582[/attach] Dort betrachten wir die beiden Dreiecke DFB (u-Abschnitte) und EBD (r-Abschnitte). Da diese Dreiecke Grundlinien auf einer gemeinsamen Geraden und die gleiche Höhe haben, verhalten sich die Längen der Grundlinien wie die Flächen dieser Dreiecke (u Abschnitte, 8u, 4u und r-Abschnitte 4r, 5r). Analog ist es bei den Dreiecken AFC (s-Abschnitte, 3s, 9s) und AEC (t-Abschnitte, 3t, 2t) Die Flächen hängen nun vom Produkt zweier Seiten (und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel) ab. Genaugenommen kommt zu dem halben Produkt der Seiten der Sinus des betreffenden Winkels als Faktor hinzu. Da jedoch bei den betrachteten Dreiecken die Winkel als (Scheitelwinkel) gleich sind, kann durch diesen Faktor beim Vergleich gekürzt werden. Die Flächen können somit in ru bzw. st ausgedrückt und verglichen werden. Kommst du damit jetzt weiter? mY+

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