Fortsetzung Vektorraumisomorphismus

24.02.2024, 18:06	raih04	Auf diesen Beitrag antworten »
Fortsetzung Vektorraumisomorphismus Meine Frage: Das hier ist eine Altklausuraufgabe, bei der ich mir nicht sicher bin, wie ich herangehen soll. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und U,W zwei Untervektorräume und f ein Vektorraumisomorphismus zwischen U und W. Zeigen Sie, dass man jeden Vektorraumisomorphismus zu einem Vektorraumautomorphismus g von V nach V mit g(u)=f(u) für jedes U aus u fortsetzen kann. Meine Ideen: Ich möchte eigentlich nur die Lösung haben, da ich in der Klausurvorbereitung bin, aber hier mal meine Ansätze. Da f ein Vektorraumisomorphismus ist, haben U und W dieselbe Dimension. Eine lineare Abbildung ist eindeutig dadurch bestimmt, was sie auf der Basis macht. Meine Idee wäre es, die Basis von U zu einer Basis von V zu ergänzen und dann jeden ergänzenden Basisvektor von U auf einen von W zu schicken. Ich käme nur nicht weiter, warum das unbedingt ein Vektorraumautomorphismus sein soll.
24.02.2024, 20:00	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fortsetzung Vektorraumisomorphismus Nicht auf einen Basisvektor von W, sondern auf einen, der die Basis von W zu einer Basis von V ergänzt
24.02.2024, 21:05	raih041	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fortsetzung Vektorraumisomorphismus Genau das habe ich gemeint, ich habe mich falsch ausgedrückt
24.02.2024, 21:11	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fortsetzung Vektorraumisomorphismus Damit wird eine Basis von V auf eine Basis von V abgebildet und man hat einen Automorphismus.
24.02.2024, 21:55	raih042	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fortsetzung Vektorraumisomorphismus Ich bekomme es aber nicht hin zu zeigen, dass diese Abbildung linear ist, also g(x+y)= g(x)+g(y) und g(kx)= k*g(x) ist. Ich wüsste auch nicht, welche Aussage mir die Linearität sofort liefern würde und von Hand bekomme ich es nicht beweisen. Und natürlich noch danke für die Hilfe
25.02.2024, 06:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
URL hat schon geschrieben, dass man damit einen Automorphismus von V hat. Ein Automorphismus ist linear. qed.
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25.02.2024, 10:43	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Abbildung ist per definitionem linear. Das muss man also nicht mehr zeigen. Ein handlicheres Beispiel mag helfen: Betrachte zwei Vektorräume $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ über dem Körper der reellen Zahlen und eine Basis $\begin{eqnarray} a_1,a_2 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und dazu zwei beliebige Elemente $\begin{eqnarray} b_1,b_2\in B \end{eqnarray}$ . Dann definieren wir eine Abbildung $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} g(a_1)=b_1,\,g(a_2)=b_2 \end{eqnarray}$ . Dieses $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ setzen wir jetzt zu einer linearen Abbildung auf $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ fort, in dem wir für beliebige reelle Zahlen $\begin{eqnarray} s,t \end{eqnarray}$ definieren $\begin{eqnarray} g(sa_1+ta_2):=sb_1+tb_2 \end{eqnarray}$ Man muss sich jetzt einmal klar machen, dass $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ damit zu einer eindeutig definierten, linearen Funktion von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ wird. Im vorliegenden Fall geht man analog vor: Man nimmt eine Basis $\begin{eqnarray} u_1,\ldots ,u_n \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ , die beschert einem eine Basis $\begin{eqnarray} f(u_1),\ldots ,f(u_n) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ . Die Basis von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ergänzt man durch $\begin{eqnarray} a_1,\ldots , a_k \end{eqnarray}$ zu einer Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Die Basis von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ ergänzt man durch $\begin{eqnarray} b_1,\ldots , b_k \end{eqnarray}$ zu einer Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ (warum gibt es gleichviele $\begin{eqnarray} b_j \end{eqnarray}$ wie $\begin{eqnarray} a_j \end{eqnarray}$ ?) Jetzt wird wie oben $\begin{eqnarray} f(a_j)=b_j \end{eqnarray}$ definiert und dann linear fortgesetzt.

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