0.999...=1 oder auch nicht?

26.02.2024, 22:51

Justice

0.999...=1 oder auch nicht?

Hallo zusammen!

Allgemein Anerkannt ist ja die Gleichung 0.999...=1 wobei "..." für unendliche viele Nachkomma 9ne stehen.

Kurzes Gedankenexperiment:
Es gibt ja die (positive) Infinitesimalzahl $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ per Definition $\begin{eqnarray*} 0 < \lambda < \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ . aka Grösser 0 aber kleiner als jede positive reelle Zahl.

Was ist dann:

Erstens:
$\begin{eqnarray*} 0.999... + \lambda \end{eqnarray*}$ ? Für mich persönlich hätte ich kein Problem damit dies gleich =1 zu setzten. Oder wieso ist das Falsch?

Zweitens:
$\begin{eqnarray*} 1 + \lambda > 1 \end{eqnarray*}$ was ist an dieser Ungleichung falsch? Für mich stimmt die Irgendwie.

Drittens:
wenn: $\begin{eqnarray*} 0.999... = 1 \end{eqnarray*}$ dann müsste ja auch $\begin{eqnarray*} 0.999... + \lambda > 1 \end{eqnarray*}$ sein? Ist aber für mich counter-intuitiv...

Hat wer eine gute Erklärung?

Vielen Dank schomal!

Gruss
Nureis

26.02.2024, 23:19

Leopold

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Da $\begin{align*} 0{,} \bar{9} = 1 \end{align*}$ gilt, ist auch $\begin{align*} 0{,} \bar{9} + \lambda = 1 + \lambda \end{align*}$ , ob nun $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ infinitesimal ist oder nicht, ob es positiv oder negativ ist. Das alles spielt keine Rolle. Wenn $\begin{align*} \lambda > 0 \end{align*}$ ist, dann ist auch $\begin{align*} 0{,} \bar{9} + \lambda = 1 + \lambda > 1 \end{align*}$ .

27.02.2024, 07:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Justice
Es gibt ja die (positive) Infinitesimalzahl $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ per Definition $\begin{eqnarray*} 0 < \lambda < \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ . aka Grösser 0 aber kleiner als jede positive reelle Zahl.

Wenn du so einsteigst, solltest du auch klar hinzufügen, dass du keine reellen Zahlen mehr meinst, sondern z.B. sowas wie hyperreelle Zahlen. Bei letzteren gibt es aber nicht die positive Infinitesimalzahl, sondern besser formuliert positive Infinitesimalzahlen, d.h., von Eindeutigkeit kann keine Rede sein.

Das weitere Vorgehen hängt davon ab, was du unter $\begin{eqnarray*} 0{,}\overline{9} \end{eqnarray*}$ denn eigentlich verstehst.

1) Ist es die reelle Zahl, dann gilt ja $\begin{eqnarray*} 0{,}\overline{9}=1 \end{eqnarray*}$ , womit aus $\begin{eqnarray*} \lambda>0 \end{eqnarray*}$ auch sofort $\begin{eqnarray*} 0{,}\overline{9}+\lambda > 1 \end{eqnarray*}$ folgt, wie von Leopold gerade auch genannt.

2) Meinst du mit $\begin{eqnarray*} 0{,}\overline{9} \end{eqnarray*}$ hingegen eine hyperreelle Zahl $\begin{eqnarray*} <1 \end{eqnarray*}$ , die aber größer als jede reelle Zahl $\begin{eqnarray*} <1 \end{eqnarray*}$ ist, dann kommt es auf die genauen Definitionen sowohl von $\begin{eqnarray*} 0{,}\overline{9} \end{eqnarray*}$ als auch von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ als hyperreelle Zahlen an. Soweit ich deren Konzept verstanden habe (in Gänze wohl noch nicht ganz), sind dann - je nach Definition der beiden Zahlen - für $\begin{eqnarray*} s:=0{,}\overline{9} + \lambda \end{eqnarray*}$ alle drei Varianten $\begin{eqnarray*} s<1, s=1,s>1 \end{eqnarray*}$ denkbar. Sicher ist nur, dass diese hyperreelle Zahl $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ größer ist als jede reelle Zahl <1, und kleiner ist als jede reelle Zahl >1.

27.02.2024, 10:03

Justice

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Vielen Dank Leopold und HAL für die Antworten!

Dann habe ich noch lücken im Verständnis mit dem Zahlenraum bzw. Zahlenmengen.

Z.B. Beim Integrieren oder Differenzieren arbeitet man ja auch mit Infinitesimalzahlen? Die Fläche unter einer Kurve wird mit infinitesimal-breiten Streifen "errechnet".

Das heisst, wenn ich Integriere oder Ableite, dann bewege ich mich nicht mehr im Reellen Zahlenraum?

Danke und Gruss
Nureis

27.02.2024, 10:27

HAL 9000

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Nein - der übliche Grenzwertbegriff benötigt keine solchen infinitesimalen, hyperreellen Zahlen. D.h., ein solches $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , mit dem du oben eingestiegen bist, wird da nicht benötigt.

27.02.2024, 13:51

Justice

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Danke HAL.

Aber wie kann ich folgendes Aussage verstehen? oder ist die Falsch?

Zitat:
www.matheretter.de/

Zitat:

Die Infinitesimalrechnung (von lat. „infinitus“ = unendlich) ist die zusammenfassende Bezeichnung der Differenzial- und der Integralrechnung. Der Name sagt, dass mit unendlich kleinen Größen gerechnet wird, die zunächst als wirklich vorhandene, unteilbare Bestandteile des Kontinuums gedacht wurden.

Noch eine weitere Verständnis Frage diesbezüglich:

In der Reellen Zahlemmenge ist folgende Gleichung falsch/ungültig:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}^{\sqrt{-1}}=0.2078... \end{eqnarray*}$

Wenn ich aber die Zahlenmenge auf die Komplexe Ebene erhöhe, ist sie korrekt. Oder?

Wenn ich nun die Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} 0.999...<1 \end{eqnarray*}$
setzte, würden man sagen falsch!

Aber dann werde ich ergänzen, denken sie über den Tellerrand hinaus! Ich berücksichtige die infinitesimalen Zahlen (so wie ich die Imaginären im Beispiel zuvor berücksichtige).

Dann müsste man mir recht geben?

Oder war um kann ich mit infinitesimalen zahlen Integrieren (unendlich addieren), aber nicht klassisch addieren?

27.02.2024, 14:17

Elvis

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Fast alle Mathematiker des 18. oder 19. Jahrhunderts würden dir recht geben ... aber wir leben im 21. Jahrhundert. Deine Fragen sind längst allgemeingültig beantwortet, und es lohnt sich wirklich nicht, alte Probleme aufzuwärmen.

27.02.2024, 16:39

Justice

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Hallo Elvis!

Ich bin ja selbst ein Befürworter von 0.999...=1. Aber ich finde man muss immer Openminded bleiben und darf kein Tunnelblick haben.

Wenn einem neue Ideen oder Erkenntnisse erscheinen, nochmals alles Hinterfragen und nicht festgefahren bleiben.

Ich würde mich darüber freuen, wenn du mir sagen könntest, was an meinen Aussagen hinkt.

Möchte gerne wissen, ob noch ein Überlegungsfehler habe, oder eine eine weitere Wissenslücke.

27.02.2024, 18:11

Elvis

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Zu openminded gehört, dass man neues Wissen aufnimmt und nicht immer wieder starrsinnig alte Fehler wiederholt. Das Gerede um infinitesimale Größen gehört in die Mottenkiste der Geschichte. Als Newton und Leibniz die Infinitesimalrechnung aus guten physikalischen und mathematischen Gründern erfunden haben, wusste noch niemand genau, was man sich darunter vorstellen konnte. Spätestens mit Weierstraß (1815-1897) und Dedekind (1831-1916) wissen wir, was reelle Zahlen sind und wie Analysis (reelle Zahlen) und Funktionentheorie (komplexe Zahlen) zu verstehen sind. Nichtstandardanalysis ist neueren Datums und erlaubt, manche alte Sprechweise zu benutzen, dazu muss man aber wissen, was man macht und darf es nicht mit dem alten Unwissen gleichsetzen.

Zitat:

Original von Justice
Ich bin ja selbst ein Befürworter von 0.999...=1.

Das ist Unfug. In der Mathematik geht es nicht um Meinungen sondern um Tatsachen.

27.02.2024, 20:04

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Viel wurde auch schon hier gesagt.

27.02.2024, 20:28

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
...

Zitat:

Original von Justice
Ich bin ja selbst ein Befürworter von 0.999...=1.

Das ist Unfug. In der Mathematik geht es nicht um Meinungen sondern um Tatsachen.

@Elvis
In dem Thread vermeine ich eine gewisse Ungehaltenheit deinerseits zu bemerken.
Es sind von den Fragestellern nicht alle so bewandert wie du.
Du darfst ruhig etwas freundlicher sein.

mY+

27.02.2024, 22:08

Elvis

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Werde versuchen freundlich zu bleiben, auch wenn mir Openminded (Justice) vs Tunnelblick (Elvis) nicht besonders gefallen hat.

29.02.2024, 10:07

Justice

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Ja Entschuldige ich wollte niemanden Beleidigen war nicht die Absicht.

Aber dann hat jeder rationaler eindeutiger Wert immer zwei Nachkommazahl-Repräsentationen? Ist das korrekt?

29.02.2024, 10:18

HAL 9000

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Mit "Nachkommazahl-Repräsentation" meinst du vermutlich Dezimalbruchdarstellung, oder? verwirrt

Dann stimmt deine Aussage nicht: Nur die rationalen Zahlen mit endlicher (manchmal auch "abbrechend" genannt) Dezimalbruchdarstellung besitzen zwei verschiedene Darstellungen - alle anderen rationalen Zahlen nur eine.

Beispiel für zwei: $\begin{eqnarray*} 0.815 \end{eqnarray*}$ entspricht sowohl $\begin{eqnarray*} 0.815\overline{0} \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} 0.814\overline{9} \end{eqnarray*}$ .

Aber die rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} = 0.\overline{3} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{7} = 0.\overline{142857} \end{eqnarray*}$ besitzen jweils nur eine Dezimalbruchdarstellung, wie auch alle irrationalen Zahlen.

Kurz zusammengefasst: Die (vollständig gekürzte) rationale Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ besitzt genau dann zwei verschiedene Dezimalbruchdarstellungen, wenn $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ allenfalls die Primfaktoren 2 und 5 enthält, d.h. (mit anderen Worten) Teiler einer Zehnerpotenz ist.

29.02.2024, 12:01

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL Worunter würde die 0 fallen? Sie sollte abbrechend, rational sein, allerdings tue ich mir schwer eine alternative Dezimaldarstellung zu finden.

29.02.2024, 13:05

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Die hab ich vergessen - Ok, eine Ausnahmeregelung für die liebe Null.

Es sei denn, du akzeptierst $\begin{eqnarray*} -0 \end{eqnarray*}$ als zweite Darstellungsmöglichkeit. Ja, warum eigentlich nicht? smile

29.02.2024, 13:34

IfindU

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Je länger ich drüber nachdenke, desto mehr mag ich die -0 als zweite Darstellung. Normalerweise nutzt man $\begin{eqnarray*} 1 = 0.\bar{9} \end{eqnarray*}$ (geeignet skaliert) für die zweite Darstellung. Und so ist $\begin{eqnarray*} +0 ={\color{red}1} - 0.\bar{9} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -0 = 0.\bar{9} - 1 \end{eqnarray*}$ sogar mit der üblichen Schreibweise für Grenzwerte konsistent (sofern man $\begin{eqnarray*} 0.\bar{9} = \lim_{n\to\infty}9\sum_{k=1}^n 10^{-k} \end{eqnarray*}$ als Grenzwert auffasst).

Edit: Danke für die Korrektur, Justice

29.02.2024, 13:46

Justice

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke HAL für deine Antwort!

Zitat:

Original von HAL 9000
Mit "Nachkommazahl-Repräsentation" meinst du vermutlich Dezimalbruchdarstellung, oder? verwirrt

Nein, ich habe bewusst diesen Ausdruckgewählt damit es Zahlensystem(Basis)-unabhänig ist.

Z.B. ist im Ternärsystem dann 1/3=0.1=0.0222222...

D.h. jede rationale eindeutiger Wert (ausser 0) hat im selben Zahlensystem zwei repräsentationen?

29.02.2024, 13:55

Justice

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
Und so ist $\begin{eqnarray*} +0 = 0 - 0.\bar{9} \end{eqnarray*}$

Du meinst +0=1-0.999...? Augenzwinkern

Dann wäre aber:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-0.999...} = +\infty \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{0.999...-1} = -\infty \end{eqnarray*}$
legitim?

geschockt

29.02.2024, 14:15

Elvis

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Bitte nicht auch noch durch 0 teilen, das geht gar nicht. unglücklich

29.02.2024, 14:40

Justice

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir brechen hier gerade alle Regeln der menschlichen Mathematik und Elvis kriegt die Kriese Lesen2

Hehe

Elivs, ich bin nur aufs "IfindU"s Beitrag eingegangen... Hier dividiert niemand durch 0... keine sorge.

29.02.2024, 14:47

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Justice
Nein, ich habe bewusst diesen Ausdruckgewählt damit es Zahlensystem(Basis)-unabhänig ist.

Was genau soll "Zahlensystem(Basis)-unabhängig" sein? Ob eine rationale Zahl eine abbrechende "Nachkommazahl-Repräsentation" hat, hängt doch aber sehr wohl von der Zahlensystem-Basis ab. Wie willst du die von dir nun geforderte diesbezügliche Beliebigkeit nun hier eintakten? Erstaunt1

Fakt ist nur, dass es für jede rationale Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ eine Zahlensystembasis gibt, wo sie eine abbrechende "Nachkommazahl-Repräsentation" hat: Nämlich Basis $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ... eine reichlich banale Aussage. Big Laugh

Zitat:

Original von Justice
Wir brechen hier gerade alle Regeln der menschlichen Mathematik

Eher die Regeln, gewisse Dinge mit vernünftigen und vertrauten mathematischen Bezeichnungen zu versehen.

29.02.2024, 19:42

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{align*} 0{,}\bar{9}=1 \end{align*}$ gilt in $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ , also auch in jeder Erweiterung von $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ , ob nun einer algebraischen Erweiterung wie $\begin{align*} \mathbb{C} \end{align*}$ oder in einem Nonstandard-Modell. Und die Differenz zweier gleicher Zahlen ist nun mal 0. Da muß ich Elvis recht geben.

01.03.2024, 12:42

Justice

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Danke HAL und Leopold.

Dann eine weitere Frage:
EDIT 3.1.24 13:25 Uhr:
Wieso erhält man bei unendlichen konvergenten Reihen einen exakten Wert, aber nicht bei einer Funktion (mit horizontal Asymptote), welche wenn x gegen unendlich geht? ( nur beliebig nahe an diese Asymptote)

01.03.2024, 12:46

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Justice
aber nicht bei Funktionen, welche wenn x gegen unendlich geht, nur beliebig nahe an eine Asymptote?

Das ist für mich sowohl grammatikalisch als auch inhaltlich ein unvollständig vorgetragener Gedanke. unglücklich

01.03.2024, 14:51

willyengland

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Zitat:

Original von Justice
Wieso erhält man bei unendlichen konvergenten Reihen einen exakten Wert, aber nicht bei einer Funktion (mit horizontal Asymptote), welche wenn x gegen unendlich geht? ( nur beliebig nahe an diese Asymptote)

Ich antworte mal mit meinem Laienverständnis:
In beiden Fällen ist es ein asymptotischer Wert.
Er wird nur unterschiedlich geschrieben.
Einmal mit Summenzeichen, einmal mit Limes.

02.03.2024, 08:56

Elvis

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Jede konvergente Folge hat genau einen Grenzwert. Jede divergente Folge hat keinen Grenzwert. Jede konvergente Reihe ist die Folge ihrer Partialsummen, hat also genau einen Grenzwert. Jedes konvergente Produkt ebenso. Konvergente Folgen von Zahlen haben genau einen Grenzwert. Konvergente Folgen von Funktionswerten sind konvergente Folgen, haben also genau einen Grenzwert. In der Analysis läuft alles darauf hinaus, dass man verstehen muss, was konvergente Folgen sind.

02.03.2024, 13:12

Leopold

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$\begin{align*} 0{,}\bar{9} \end{align*}$ steht nicht für den Prozeß

$\begin{align*} 0{,}9; \ 0{,}99; \ 0{,}999; \ \ldots \end{align*}$

oder für eine beliebige Zahl dieses Prozesses, sondern für das Ende, das Ziel dieses Prozesses, also für 1. So funktioniert der Grenzwertbegriff der klassischen Analysis. In einer Nonstandard-Erweiterung von $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ gibt es Zahlen $\begin{align*} <1 \end{align*}$ , die größer als jede Zahl des Prozesses sind, man nehme für ein infinitesimales $\begin{align*} \vartheta > 0 \end{align*}$ die Zahl $\begin{align*} 1 - \vartheta \end{align*}$ . Dann gilt

$\begin{align*} 0{,}99 \ldots 999 < 1 - \vartheta < 1 \end{align*}$

wobei links ein abbrechender Dezimalbruch steht, in dem jede Dezimale 9 ist, mit einer beliebig großen, aber fest gewählten Anzahl von Stellen. Weil aber $\begin{align*} 0{,}\bar{9} = 1 \end{align*}$ ist, gilt dann auch

$\begin{align*} 0{,}99 \ldots 999 < 1 - \vartheta < 0{,}\bar{9} \end{align*}$

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