Arithmetik, Analysis und Primzahlzwillinge

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Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »
Arithmetik, Analysis und Primzahlzwillinge
Meine Frage:
Meine Frage lautet: Wie kann man beweisen es zwischen (x)^2 und (x +2)^2 mindestens einen Primzahlzwilling gibt, welche Methoden der Analysis und Arithmetik könnte man hier verwenden?

Meine Ideen:
Ich weiß dass man zwischen diesen 2 Zahlen alle geraden Zahlen ausschließen kann, aber wie könnte man diese Vermutung beweisen? Auch wenn es offiziell keinen Beweis dazu gibt. Ich möchte gerne wissen, welche Methoden es gibt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Daraus folgt, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Das ist noch nicht bewiesen, also weiß niemand, wie man es beweisen kann.
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis und Arithmetik
Hallo Elvis!
Danke nochmals für den Hinweis, aber mir ist bewusst dass es leider noch keinen Beweis zu diesem Thema gibt.
Mein Ziel mit dieser Frage war bzw ist noch immer, mehr über Analysis und Arimethik herauszufinden.
Mit diesem Beispiel wollte ich lediglich herausfinden, welche mathematischen Formel/ Gleichungen man in der Zahlentheorie anwenden will, wenn man herausfinden will, wie man Zitat: Die analytische Zahlentheorie verwendet Methoden der Analysis und der Funktionentheorie. Inhaltlich befasst sie sich vorwiegend mit der Bestimmung der Anzahl aller Zahlen unterhalb einer gegebenen Schranke, die eine bestimmte Eigenschaft haben, sowie mit der Abschätzung von Summen zahlentheoretischer Funktionen.
Was man auf Wikipedia nachlesen kann
Also wie kann man die Bestimmung der Anzahl aller Zahlen unterhalb einer gegebenen Schranke, die eine bestimmte Eigenschaft haben, beweisen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Frage nach dem Sinn des Lebens, des Universums und allem. Die Zahlentheorie ist primär die Frage nach allem, was man Zahl nennen kann (Arithmetik). Sie benutzt Algebra (algebraische Zahlentheorie), Funktionentheorie (analytische Zahlentheorie), Informatik (algorithmische Zahlentheorie) und Geometrie (Langlands-Programm) und alles was es sonst noch in der Mathematik schönes und nützliches gibt. Je mehr man weiß, desto mehr kann man (vielleicht) beweisen. Es gibt viele offene Probleme und Vermutungen, und niemand kann wissen, auf welchen verschlungenen Wegen und neuen Erfindungen zukünftige Beweise aufbauen werden. So ist das Leben im allgemeinen und die Mathematik im besonderen, erst hinterher ist man klüger.
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis und Arithmetik
Hallo Elvis!
Welche Methoden gibt es in der Analysis! Mit dem Mathematiker herausgefunden haben, dass der Abstand zwischen 2 Primzahlen begrenzt ist, dank Yitang Zhang und James Maynard?
Also wie kann man der analytischen Zahlentheorie Abstände zwischen Zahlen (zum Beispiel Primzaheln) finden, dass es weniger Paare gibt, die sich um solch eine Zahl/Abstand unterscheiden? Oder müsste man damit auf andere Bereiche der Mathematik zurückgreifen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Auf Anhieb fallen mir arithmetische Funktionen, elliptische Funktionen, Weierstrassfunktionen, Modulformen, Eisensteinreihen, Möbiustransformationen, Dirichletreihen, zeta-Funktionen, L-Reihen ein, die besonders wichtig für die Zahlentheorie sind. Darüber hinaus machen wir natürlich regen Gebrauch von allen meromorphen Funktionen auf Riemannschen Flächen und nutzen somit die ganze Trickkiste der Funktionentheorie. Nicht nur im komplexen sondern auch in p-adischen Zahlkörpern sind Funktionen aller Art hilfreich, weil sie viel mehr wissen als wir... wir müssen "nur" verstehen, was sie uns sagen wollen.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Augustus09
Wie kann man beweisen es zwischen (x)^2 und (x +2)^2 mindestens einen Primzahlzwilling gibt

Gar nicht, weil es für schon mal falsch ist.
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis und Arithmetik
Hallo Elvis!
Vielen Dank für deinen Hinweis
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis und Arithmetik
Hallo Hal9000!
Vielen Dank für deine Antwort.
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Analysis und Arithmetik
Hallo Elvis und Hal9000!

Ich hätte noch zwei letzte Fragen an euch:

1)Angenommen ein Mathematiker würde beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 6n +1 und 6n -1, das würde aber nicht die Primzahlzwillingstheorie sofort beweisen, oder irre ich mich da?

2) Wie könnte Andrew Garville beweisen, dass es unendlich viele Pseudoprimzahlen gibt. Denn ich verstehe nicht, wie Mathematiker beweisen können, dass es unendlich viele Primzahlen einer gewissen Form gibt. Denn dort kann man ja nicht den Wiederspruchsbeweis von Euklid nehmen!

Vielen Dank schonmal im Voraus!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Augustus09 (Teilsatz vervollständigt)
1)Angenommen ein Mathematiker würde beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 6n +1 und 6n -1 gibt

Das muss man nicht annehmen, solche Beweise existieren. Der für 6n-1 ist sogar ausgesprochen leicht - nur eine kleine Variation des Beweises des Satzes von Euklid. Der für ist schon komplizierter, aber immer noch in wenigen Minuten verständlich.

Dirichlet bewies die deutlich allgemeinere Aussage, dass es für gegebene teilerfremde ganze Zahlen mit unendlich viele Primzahlen der Form gibt. Den Beweis habe ich mir noch nicht angesehen - es ist zu vermuten, dass der den Rahmen hier sprengen würde. Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Augustus09
Leider kann ich nicht etwas erklären, von dem ich noch nichts gehört habe. Wenn du etwas verstehen willst, musst du solange studieren bis du die Originalarbeiten der Mathematiker lesen kannst. Tipp : Nimm dir reichlich Zeit dafür, mindestens 12 Jahre.

Der Dirichletsche Primzahlsatz gehört zum Standardrepertoire der Zahlentheorie. Er gilt sowohl für algebraische Zahlkörper als auch für algebraische Funktionenkoerper einer Variable über endlichen Körpern. (Für die letzteren habe ich kürzlich ein Skript von Anton Dietmar empfohlen. Schau da mal rein, dann hast du die Gelegenheit, etwas zu verstehen, und wir können uns gerne darüber unterhalten, wenn du Fragen dazu hast.)
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Hal 9000 für deine Antwort!
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis und Arithmetik
Danke Elvis für deine Antwort!

Und wie würdest du anfangen um die Analysis zu verstehen, mit welchem Buch/ Vorlesung/Studium würdest du starten?
Danke schön Mal im voraus!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Analysis habe ich in den ersten 3 Semestern gelernt, dafür brauchte ich kein Buch. Lineare Algebra und Analysis kann man ganz gut in Vorlesungen und Übungen lernen.

Bevor man mit Zahlentheorie anfängt, braucht man gute Kenntnisse in Algebra (Siegfried Bosch "Algebra") und Funktionentheorie (Behnke-Sommer "Funktionentheorie einer Variablen"), die man in Vorlesungen erwirbt. Dann hat man nach Vorlesungen "Elementare Zahlentheorie" und "Algebraische Zahlentheorie" sowie einigen einschlägigen Seminaren gute Chancen, Jürgen Neukirch "Algebraische Zahlentheorie" zu verstehen. Nach 600 Seiten weiß man dann, wie die Dirichletschen L-Reihen zum Dirichletschen Primzahlsatz führen. Während des Studiums muss man natürlich einige klassische Arbeiten von Gauß, Riemann, Dirichlet, Dedekind, Hecke, Hensel, Hilbert, Artin, Hasse und anderen studieren.
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis und Arithmetik
Vielen Dank ihr habt alle meine Fragen beantwortet, danke für die vielen Infos.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Illustration mal der noch elementare (d.h. analysisfreie) Beweis für unendlich viele Primzahlen der Gestalt (nicht von mir gefunden, sondern auch irgendwo gelesen):

Zu gegebenem betrachten wir die Primteiler der Zahl , dann ist sofort klar, wegen gilt dann auch , d.h. .

Angenommen, ein solches besitze die Gestalt , dann ist . Gemäß Kleinem Fermat gilt aber auch , was unweigerlich zur Folge hat. Dies wiederum bedeutet aber , was im Widerspruch steht zum Ausgangspunkt .

Daher besitzt allenfalls Primteiler 3 oder welche der Gestalt . (*)

Der Rest verläuft ähnlich dem Euklidschen Beweis: Angenommen nun, es gibt nur endliche viele Primzahlen der Gestalt . Wir betrachten nun für . Wegen haben wir dann , d.h. besitzt Primfaktor 3 nur einmal, alle anderen sind gemäß (*) von der Gestalt und wegen der Wahl von offenkundig von verschieden - Widerspruch.


P.S.: Kommt also schon ganz schön was zusammen für eine solche vergleichsweise winzige Aussage.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, und das gehört noch zur "elementaren Zahlentheorie". Diese heißt nicht elementar, weil sie einfach ist, sondern weil man mit einfachen Methoden zum Ziel kommt. Algebraische, analytische, algorithmische, geometrische etc. Zahlentheorie ist dann so kompliziert, dass man bisher keine einfachen Wege finden konnte, ihre Resultate zu beweisen.
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »

3 letzte Fragen hätte ich noch:

Wo kann man den Beweis von 6n + 1 googeln?

Welche Auswirkungen hätte es wenn es nur endlich viele Primzahlzwillinge geben würde?

Und aus Neugierde was müsste ein Mathematiker eigentlich alles beweisen dass es unendlich viele Primzahlzwillingspaar gibt, nur dass es unendlich viele Primzahlen der Form 6n +1 und 6n-1 ist doch nicht der vollständige Beweis, oder irre ich mich da? Welche weiteren Schritte müsste ein vollständiger Beweis enthalten?
Auch wenn nicht absehbar ist, welcher Beweis irgendwann in der Mathematik Auftritt, mit dem beweisen kann dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt!

Vielen Dank schonmal im Voraus!
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal9000!

Vielen Dank für den Beweis 6n +1!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Augustus09
nur dass es unendlich viele Primzahlen der Form 6n +1 und 6n-1 ist doch nicht der vollständige Beweis, oder irre ich mich da?

Selbstverständlich reicht das nicht: Wir wissen nur, dass die beiden Indexmengen

und

beide unendlich groß sind - für die Primzahlzwillinge müsste man jedoch beweisen, dass unendlich groß ist.


Die bloße Unendlichkeit von hilft dabei herzlich wenig - denke mal nur an " = gerade Zahlen" und " = ungerade Zahlen", da ist sogar . So schlimm ist es bei unseren zwar nicht, aber den Beweis der Unendlichkeit von hat eben noch keiner hingekriegt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Augustus09
Wenn du googeln möchtest, suche nach "Satz von Dirichlet" oder "Dirichlet'scher Primzahlsatz", aber erwarte nicht, dass du die Antworten verstehen kannst.
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal9000!

Meinst du mit der Aussage:
den Beweis der Unendlichkeit von A∩B hat eben noch keiner hingekriegt.

Dass wenn A1 eine Primzahlen ist, dass dann man zeigen müsste, dass auch B1 eine Primzahl ist. Und dass das für alle A und B gilt!
Oder was müsste man konkret beweisen?

Vielen Dank schonmal im Voraus!
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »

* Den Beweis der Unendlichkeit von A und B
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Grundlagen der Mengenlehre und Grundlagen der Logik musst du auch noch lernen, sonst verstehst du leider nichts von Mathematik.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich denn alles haarklein zerpflücken - denkst du nicht einmal auch selber nach? unglücklich

ist (gemäß der obigen Definitionen von und ) gleichbedeutend damit, dass Primzahlzwilling ist. Damit ist die Aussage einer unendlichen Menge gleichbedeutend mit der von unendlich vielen Primzahlzwillingen.
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank für die Tipps!

Meine Frage ist hiermit beantwortet.
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal9000!

A geschnitten B würde ja bedeuten dass die zwei Reihen mindestens ein gleiches Element haben. Wie die gerade Zahlen und die Primzahlen. (2) Aber bei unserem Beweis müsste man doch eigentlich beweisen, dass es unendlich viele Elemente der beiden Reihen geben, welche sich um 2 unterscheiden. Oder sehe ich das falsch?

Und ich bin erst 16, und will Primzahlen + Zahlentheorie verstehen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Augustus09
A geschnitten B würde ja bedeuten dass die zwei Reihen mindestens ein gleiches Element haben.

ist keine Aussage, sondern eine Menge. unglücklich

ist die Aussage, dass es mindestens einen Primzahlzwilling gibt.


Zitat:
Original von Augustus09
Aber bei unserem Beweis müsste man doch eigentlich beweisen, dass es unendlich viele Elemente der beiden Reihen geben

Ausgeschlafen? Ich habe oben wiederholt davon gesprochen dass man nachweisen müsste, dass unendlich groß ist - was nichts weiter heißt, als dass es unendlich viele Elemente enthält. unglücklich


Ich habe den starken Verdacht, dass ich oben nur für die Tonne geschrieben habe, da du kaum was mitzukriegen scheinst bzw. längst im Thread stehende Erkenntnisse mit "aber müsste nicht..." anmahnst. Finger1
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will nur die Aussage verstehen und dabei respektvoll und nett bleiben.

Deshalb versuche ich zu fragen, warum man beweisen muss das A geschnitten B, unendlich viele Elemente enthält.

Und wenn es nicht zu schwierig wäre, bitte so dass es jeder versteht, auch jemand der nicht Mathematik studiert hat.
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »

Und ja, ich weiß das A geschnitten B gleichzusetzen ist mit der Aussage dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, aber warum führen wir dieses Verfahren durch?
Das wir herausfinden das die Elemente der Menge A den einen Teil des Primzahlzwillings und die Elemente der Menge B den anderen Teil des Primzahlzwillings bilden, oder was ist die Grundlage/Idee hinter dieser Theorie?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Fang erstmal den Spatz in der Hand (Mengenlehre und elementare Logik nachholen) bevor du nach der Taube auf dem Dach (zahlentheoretische Beweise führen) greifst. Dir scheinen viele wichtige Grundlagen zu fehlen, auch solche die man als 16-Jähriger eigentlich schon haben sollte - gerade dann, wenn man sich zu solchen Themen unterhalten will. unglücklich


Zitat:
Original von HAL 9000
Wir wissen nur, dass die beiden Indexmengen

und

beide unendlich groß sind

Ich habe also NICHT von den zugehörigen Primzahlmengen

und

gesprochen. DAS meine ich mit den genannten Defiziten in Mengenlehre - und ich hatte gedacht, dass ein evtl. diesbezügliches Missverständnis spätestens mit dem Beitrag 28.02.2024 16:52 ausgeräumt war - leider Nein. unglücklich
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »

Hal 9000, ich verstehe nicht wie jemand wie sieh, nicht lernfähig ist, zu verstehen, dass ich seit meiner ersten Nachfrage an sie, nur verstehen möchte, was sie sagen.
Doch sie begegnen mir mit so wenig Respekt, dass ich mich Frage, warum sie eigentlich an diesem Mathe Forum teilnehmen und die Fragen der Mathematik Interessierten beantworten, wenn jegliches Interesse von mir, sie nur wütender und unzufriedener macht.
Deshalb glaube ich, dass ich meine Zeit anders wo verwenden möchte, um die Mathematik zu erlernen und zu verstehen.
And die Moderatoren, diese Frage ist beantwortet, außer jemand kann respektvoll und in einfachen Worten erklären warum wir die Schritte setzen, die wir brauchen um die Theorie zu beweisen.
Hochachtungsvoll,
Augustus09
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja entschuldige, ich war einfach nur so sauer darüber, dass du auch wieder nur einer derjenigen bist, bei denen Anspruch (zahlentheoretische Beweise führen) und Können so hoffnungslos weit auseinander liegen.

Es gibt Leute, die kommen mit der Haltung hier an "Ich hasse Mathe, aber ich muss diese Schulaufgabe leider nun mal lösen". Wenn man denen helfen will, muss man sicher sehr geduldig und nachsichtig sein, was ihre mathematischen Defizite betrifft. Wenn aber Leute freiwillig mit anspruchsvollen Problemen hier aufkreuzen, lege ich die Messlatte deutlich höher (erwarte z.B., dass sie etwas länger als nur ein paar Sekunden über meine Beiträge nachdenken) - mein Fehler. Hammer
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal 9000!

Ich verstehe ihre Sichtweise sehr gut.
In meiner Klasse interessieren sich viele null für Mathematik.
Und ich bin halt das Gegenteil (ich finde das Mathematik eines der coolsten Fächer überhaupt ist).
Ich glaube, dass sie Recht haben.
Deshalb möchte ich zuerst meine Mathe Kenntnisse verbessern, bevor wir über die Lösung der Primzahlzwillingstheorie weiter diskutieren. (Mögliche oder sogar ausgeschlossene Wege.)
Welche Wege würden sie vorschlagen, damit ich so viel Mathematik Kenntnisse anhäufen und verbessern kann.
Würden Sie den Weg den Elvis schon erklärt hat, als den besten Weg um das Thema zu verstehen, ansehen.
Oder, gibt es noch Werke oder Vorlesungen, welche sie persönlich empfehlen würde.
Danke schonmal im Voraus!
Ich habe bereits, schon viel in dieser Fragestellung erfahren.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Wissensdurst ehrt dich sehr, aber es ist sehr schwer, auch nur mit den einfachsten mathematischen Theorien vertraut zu werden. Leonard Euler hat gesagt :"Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik." Viele Menschen studieren Mathematik, nur wenige verstehen etwas davon, und nur ein paar Genies können durch neue Beweise etwas zur Weiterentwicklung der Mathematik beitragen.
Es gibt noch keine Primzahlzwillingstheorie, wir wissen nicht einmal, ob irgendwann in ferner Zukunft entschieden werden kann, ob es endlich oder unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Noch viel weniger wissen wir, auf welche Weise eine Entscheidung getroffen werden kann und was dabei heraus kommt. Das einzige was uns die Logik heute sagt, ist :"Es gibt entweder endlich viele Primzahlzwillinge oder es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge."
Vielleicht stimmt nicht einmal das, was wir heute glauben, denn es kann sein, dass das Problem prinzipiell nicht entscheidbar ist und zwei neue Theorien entwickelt werden, in denen je eine der beiden Aussagen wahr ist.
Mein guter Rat ist, lerne erst einmal in der Schule, was du lernen willst und kannst. Dann entscheide dich für ein Studium in einer Wissenschaft, die dir am besten gefällt. Bis dahin darfst du selbstverständlich so viel Fragen stellen wie du möchtest.
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen herzlichen Dank für die schnelle Antwort!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bedanke dich bitte nicht so schnell. Versuche erst mal meine Antwort zu verstehen.
Augustus09 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe alles verstanden, was du gesagt hast. Ich habe aus meinen vorherigen Fehlern, hoffentlich endlich gelernt.
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