Surjektivität beweisen |
| 28.02.2024, 12:06 | hman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Surjektivität beweisen Hallo, ich sollte ein Beweis machen, ist das korrekt? Satz: Sei f eine stetige Funktion mit f: (a,b) -> R. Nun gelte lim x -> a f(x) = - unendlich und lim x -> b f(x) = unendlich. Zeige, das f surjektiv ist. Beweis. Für x -> a gilt f(x) -> - unendlich und für x -> b gilt f(x) -> unendlich. D.h. es gibt ein v aus (a,b) mit f(v) < 0 und es gibt ein w aus (a,b) mit f(w) > 0. Da f stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz auch ein z mit f(z) = 0. Also gilt damit f(a,z] = (-unendlich, 0] und f[z, b) = [0, unendlich) und damit insgesamt f(a,b) = R. Also ist f surjektiv. Meine Ideen: s.o. |
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| 28.02.2024, 12:47 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Netter Versuch, aber falsch. |
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| 28.02.2024, 13:32 | hman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Surjektivität Wieso ist denn falsch? |
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| 28.02.2024, 13:42 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welches soll das konkret sein für die von Elvis geplottete Funktion? 
Mit sowie kann ich mich eher anfreunden. |
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| 28.02.2024, 14:22 | hman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| . Also ich mach es mal allgemeiner: Man weiss das für x -> a, f(x) -> -unendlich, d.h. für jede Folge x_n mit x_n -> a gilt lim f(x_n) = -unendlich. Nun wissen wir, das f stetig ist, also ist auch das Bild eines Intervalls, wieder ein Intervall. Also gilt: f((a,c]) = (-unendlich, d] mit c und d aus R. Analog gilt das für x -> b, das da f([c,b)) = [d, unendlich gilt). Wäre das so korrekt? |
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| 28.02.2024, 14:32 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Re: . Selbst mein Hinweis im EDIT hat dich anscheinend nicht zum Nachdenken gebracht, was falsch an deinen Gedanken ist. |
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| 28.02.2024, 16:45 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@hman Wenn du nicht auf einer einzigen Nullstelle bestehst, lässt sich dein Beweis noch retten. Es gibt eine Nullstelle, also gibt's eine kleinste und eine größte Nullstelle. Mein Beispiel sollte diese Situation anschaulich machen. |
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| 28.02.2024, 17:57 | hman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| letzte Frage Also wäre das korrekt, wenn ich sagen würde, das es mindestens ein z gibt? |
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| 28.02.2024, 19:46 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Niemand bezweifelt, dass es mindestens ein z gibt
Das ist aber noch lange kein Beweis. Nach dem Motto "Ohne Fleiß kein Beweis" musst du noch einiges tun. |
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| 28.02.2024, 20:08 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@hman: um das Problem in deinem Beweis mal auf den Punkt (auf das z sozusagen 
) zu bringen: du behauptest, es gibt eine. Nullstellen und links davon sind alle Funktionswerte kleiner oder gleich Null und rechts davon sind sie größer oder gleich null. Elvis Beispiel zeigt, dass das so nicht stimmt. |
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| 28.02.2024, 21:33 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@hman Vorschlag zur Güte. Wenn du nicht auf deinem Ansatz bestehst, kann man einfacher wie folgt argumentieren. Links geht die stetige Funktion gegen -unendlich, nimmt also jeden beliebig kleinen Wert an. Rechts gegen +unendlich nimmt sie jeden beliebig großen Wert an. Nach dem Zwischenwertsatz nimmt sie jeden reellen Wert an, ist also surjektiv. Trotzdem meine ich, dass dein Ansatz eleganter und überzeugender ist, du musst ihn nur konsequent formulieren. |
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| 28.02.2024, 21:54 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei einer solchen Behauptung wie hier, wo man sowieso meint "ist doch eigentlich klar", würde ich den Beweis deutlich näher an die Definition der hier ja benutzten uneigentlichen Grenzwerte anlehnen - und den Zwischenwertsatz. Denn irgendwie fällt mir das vermutlich gemeinte bereits zu schnell vom Himmel - da könnte jemand ketzerisch fragen: Warum soll das gelten? Aber das ist nur meine persönliche Meinung... |
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