Anfangswert DGL

28.02.2024, 17:54

Mathefänger

Anfangswert DGL

Meine Frage:
Hi,

Stehe auf dem Schlauch, habe ein Anfangswertproblem und weiß nicht wie ich mit der Konstante C umzugehen habe.

f'(x)=-f''(x)

Da homogen zweiten Grades hab ich als allgemeine Lösung -> $\begin{eqnarray*} C+ \frac{C_1}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

Anfangswert für bestimmte Funktion: f(1)=1

Eingesetzt in die DGL ergibt: $\begin{eqnarray*} f(1)= C + \frac{C_1}{e} = 1 \end{eqnarray*}$

So, mein Problem ist das ich zwei C habe und nicht weiß wie ich diese gültig zusammenfassen kann (oder ob das überhaupt geht).

Es soll nämlich noch das Taylorpolynom dritten Grades bestimmt werden und dafür möchte ich die Funktion so aufgeräumt wie möglich.

Bin dankbar für jeden Input.

Meine Ideen:
Idee: C1 und e können zusammengefasst werden zu C | e > 0

Edit (mY+): LaTeX-Tags gesetzt. Du musst den LaTeX-Code noch innerhalb Tags setzen. Markieren den Ausdruck und nutze dazu dann den Button f(x)

29.02.2024, 13:21

mYthos

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Nein, die beiden Konstanten sind NICHT zusammenzufassen!
Die eine ist eine additive und die andere eine multiplikative Konstante, und diese beiden sind unabhängig voneinander.
Somit ist die Lösungsfunktion eine 2-parametrige Kurvenschar.

Ein allfälliges AWP (Anfangswertproblem) ist daher - zu einer eindeutigen Lösung - mittels 2 Bedingungen zu formulieren.

z. B.: f(1) = 1; f(0) = 2 $\begin{eqnarray*} \ \to \ f(x) = \frac 1 {e-1} \cdot \left(e^{1-x} + e - 2\right) \end{eqnarray*}$

mY+

29.02.2024, 14:58

HAL 9000

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Im wörtlichen Sinne "Anfangswerte" sind bei einer solchen gewöhnlichen DGL der Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ i.d.R. der Funktionswert sowie die Werte der Ableitungen 1 bis $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ für die Startstelle $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$ (bzw. Startzeitpunkt $\begin{eqnarray*} t=t_0 \end{eqnarray*}$ im Falle der Zeit als unabhängige Variable).

In deinem Fall $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ wären das also für $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ dann vorgegebene Werte nicht nur für $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ sondern auch $\begin{eqnarray*} f'(1) \end{eqnarray*}$ , erst damit bekommt man eine eindeutige Lösungsfunktion.

Bei den von mYthos vorgegebenen Werten an verschiedenen Stellen spricht man dann in Abgrenzung davon eher von Randwerten.

01.03.2024, 23:58

Mathefänger

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Zitat:

Original von mYthos
Nein, die beiden Konstanten sind NICHT zusammenzufassen!

Dachte ich mir schon, fühlte sich auch null richtig an.

Zitat:

In deinem Fall n=2 wären das also für x0=1 dann vorgegebene Werte nicht nur für f(1) sondern auch f'(1), erst damit bekommt man eine eindeutige Lösungsfunktion.

Da ich nur einen Anfangswert hatte wußte ich nicht wie ich an zwei Lösungen für die C komme, ich kann also f'(1)=1
setzen und dann nach C1 auflösen? Ist das bei Differentialgleichungen mit Anfangswerten immer so?

Ich habe jetzt mal alles umgesetzt also Lösungen für C1 und C und dementsprechend mal bis zum Taylorpolymon 4. Grades mit Entwicklungspunkt Xo=0 gerechnet:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -\frac{C_1}{e^x} \end{eqnarray*}$

Daraus dann für C_1: $\begin{eqnarray*} f'(1) = -\frac{C_1}{e^1} = 1 => C_1= -e^1 \end{eqnarray*}$

Dann C_1 in f(1):

$\begin{eqnarray*} f(1)=C-\frac{e^1}{e^1} = 1 <=> C=2 \end{eqnarray*}$

Also ist die mit unter diesen Bedingungen aufgestellte Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2-e^{1-x} \end{eqnarray*}$

Damit dann das Taylorpolynom 4. Grades:

$\begin{eqnarray*} TN_4(x)=2-e^{1-0}+e^{1-0}*(x-0)-\frac{e^{1-0}}{2} *(x-0)^2+\frac{e^{1-0}}{6}*(x-0)^3 =2-e+xe-\frac{x^2e}{2}+\frac{x^3e}{6} =e(\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}+x-1+\frac{2}{e}) \end{eqnarray*}$

Ist dieses bestimmte Taylorpolynom 4. Grades so richtig aufgestellt?

02.03.2024, 13:49

mYthos

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Bitte beachte zunächst den von HAL angesprochenen Unterschied zwischen Anfangswert und Randwert (so war es bei mir), dabei hat er natürlich Recht!
Beim AWP sollten also Werte von f(x) und deren Ableitungen an einer Stelle x0 vorgegeben werden.

Die Werte an dieser Stelle werden jedoch im Allgemeinen nicht übereinstimmen, es kann durchaus auch einmal f(1) = 1 und f '(1) = 2 sein.
-----------
Das von dir mit deinen Werten erstellte Polynom ist zwar ein richtiges Taylorpolynom, aber es ist vom Grad 3 Big Laugh

(.. du wolltest ja eines vom Grad 4)

[attach]57602[/attach]

mY+

02.03.2024, 15:50

Mathefänger

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Zitat:

Original von mYthos
Beim AWP sollten also Werte von f(x) und deren Ableitungen an einer Stelle x0 vorgegeben werden.

Die Werte an dieser Stelle werden jedoch im Allgemeinen nicht übereinstimmen, es kann durchaus auch einmal f(1) = 1 und f '(1) = 2 sein.

mY+

Genau das hat mir so Kopfzerbrechen bereitet, die Funktionswerte von unserem Professor wurden nur für f(0) vorgegeben (bei allen anderen Aufgaben genauso). Ich glaube ich schreibe ihm mal eine Email bevor ich in die Prüfung gehe ob wir für die Ableitungen freie Hand haben was den Wert angeht. Danke für die Hilfe und Klarstellung.

Zitat:

Das von dir mit deinen Werten erstellte Polynom ist zwar ein richtiges Taylorpolynom, aber es ist vom Grad 3 Big Laugh (.. du wolltest ja eines vom Grad 4)

Schnell nochmal nachgebessert, meine Ausrede es war spät Big Laugh

$\begin{eqnarray*} TN_4(x)=e(-\frac{x^4}{24}+\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}+x-1+\frac{2}{e}) \end{eqnarray*}$

02.03.2024, 16:20

mYthos

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So geht's.
Mit einem Funktionsplotter (GeoGebra, Excel, Derive,...) kannst du deine Resultate schnell überprüfen.

mY+

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