Taylor

02.03.2024, 22:28

Cinzio22

Taylor

Hallo zusammen

Ich soll sqrt{6} mit der Taylor-Entwicklung von sqrt{x} bis Grad 3 approximieren.

Mir ist klar, dass ich die erste, zweite, dritte Ableitung von sqrt{x} berechnen muss. Aber: Woher soll ich die Stellen (x und h) kennen?

Danke für alle Inputs! smile

02.03.2024, 22:39

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RE: Taylor
Ich würde $\begin{eqnarray*} 6=4(1+\frac 1 2) \end{eqnarray*}$ benutzen

02.03.2024, 23:03

Cinzio22

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RE: Taylor
In den Musterlösungen steht: x = 4 und h = 2. Aber warum?

02.03.2024, 23:24

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RE: Taylor
Ich wollte die (bekannte?) Entwicklung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$ benutzen - und $\begin{eqnarray*} \sqrt 4 \end{eqnarray*}$ kent man

02.03.2024, 23:42

Cinzio22

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RE: Taylor
Ok, aber wie / warum kommt und nimmt man die Werte x = 4 und h = 2 ?

Siehe Lösungen:
[attach]57604[/attach]

02.03.2024, 23:45

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RE: Taylor
Du musst die Ableitungen am Entwicklungspunkt ausrechnen. Das sind auch wieder Wurzeln und $\begin{eqnarray*} \sqrt 4 \end{eqnarray*}$ kennt man

03.03.2024, 06:50

Cinzio22

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RE: Taylor
Der Entwicklungspunkt ist aber gar nicht gegeben - woher nimmt die Lösung einfach diese 2 Werte für x und h?

Ich kenne ja auch die Wurzel von 16, beispielsweise.

03.03.2024, 06:58

Cinzio22

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RE: Taylor
Ah sorry, ich stand auf dem Schlauch :/

x = Wurzel(4) bzw. x=2 wird darum als Entwicklungsstelle verwendet, weil 2 < Wurzel(6) < 3 gelten muss und sich daher gut als "Entwicklungsmitte" eignet - oder?

03.03.2024, 08:00

Elvis

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x=4 wird benutzt, weil $\begin{eqnarray*} \sqrt 4=2 \end{eqnarray*}$ bekannt ist. x=9,h=-3 oder x=16,h=-10 geht auch. Du kannst auch x=1,h=5 benutzen. Es geht auch x=h=1 für die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ , x=1,h=2 für die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} \sqrt 6=\sqrt 2\cdot \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ . Welche der 5 Berechnungen bringt das beste Ergebnis?

03.03.2024, 10:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Cinzio22
Ich kenne ja auch die Wurzel von 16, beispielsweise.

Eher relevant wäre hier, dass du auch die Wurzel $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$ kennst, als Dezimalbruch $\begin{eqnarray*} \sqrt{6{,}25} = 2{,}5 \end{eqnarray*}$ . Die obige Taylorformel bis Ordnung 3 auf $\begin{eqnarray*} x=\frac{25}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h=-\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ angewandt ergibt dann den bereits sehr guten $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ -Näherungswert $\begin{eqnarray*} 2{,}44949 \end{eqnarray*}$ .

Da die Aufgabenstellung keine diesbezüglichen Vorgaben macht, wäre auch gegen die Wahl dieser Werte $\begin{eqnarray*} x,h \end{eqnarray*}$ nichts einzuwenden. Je näher $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als Quadratzahl einer rationalen Zahl an 6 dran liegt, umso genauer wird das ganze - natürlich werden dann Zähler und Nenner der Näherungsbrüche immer größer. Augenzwinkern

03.03.2024, 14:37

Cinzio22

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Danke für eure Inputs!

Noch zwei letzte Fragen:

1.) Wenn man klar mit x=4 arbeiten müsste/sollte, wie würdet ihr die Fragestellung ergänzen?

2.) Wenn ich die Definition hier nutze: de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe#Definition
Was entspricht bei mir dem x bzw. dem h?

03.03.2024, 15:24

HAL 9000

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Zu 1)

Zitat:

Original von Cinzio22 (ergänzt)
Ich soll $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ mit der Taylor-Entwicklung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ an Entwicklungsstelle 4 bis Grad 3 approximieren.

Zu 2)

Dein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hier ist im Wiki-Beitrag das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .
Und dein $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ hier entspricht im Wiki-Beitrag $\begin{eqnarray*} x-a \end{eqnarray*}$ .

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