Zufallsgröße und Verteilung

03.03.2024, 16:50

MMchen60

Zufallsgröße und Verteilung

Liebe Forumsgemeinde, es geht um die Aufgabe gemäß Anhang. Mir tun sich dabei zunächjst ein paar Fragen auf. Was soll wohl das $\begin{eqnarray*} \mathbb{1}_{A_i} \end{eqnarray*}$ im Summenzeichen bedeuten? Ich sehe das als Mengenzeichen für eine 1 an, also "die Menge aller 1en".
Das führte mich zur Überlegung, dass wenn alle Bernoulli-Experimente dieselbe Wahrscheinlichkeit p besitzen, die einzelnen Ergebnisse der Versuche entgwaeder "wahr"="1" oder "falsch"="0" sind.
Unter diesem Gesichtspunkt wäre die Zufallsvariable S als $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} \mathbb{1}_{A_i} \end{eqnarray*}$ die Aufsummierung von 1en bzw. 0en der Zufallsexperimene. Also wäre die Zufallsvariable S gleich der Anzahl der wahr ausgegangenen Experimente. Liege ich da richtig oder voll daneben?
Falls ich da einigermaßen logisch vorgegangen bin, wie schreibe ich jetzt $\begin{eqnarray*} S(\Omega) \end{eqnarray*}$ ? Und da ja alle Experimente dieselbe Wahrscheinlichkeit für Erfolg haben, ist das doch eine Gleichverteilung, oder?

03.03.2024, 17:43

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ ist ein Ereignis, d.h. eine bestimmte Teilmenge der Grundmene $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ des W-Raumes.

Die Indikatorfunktion $\begin{eqnarray*} 1_{A_i} \end{eqnarray*}$ ist eine Zufallsgröße, d.h. eine Funktion $\begin{eqnarray*} 1_{A_i}:~\Omega\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert gemäß

$\begin{eqnarray*} 1_{A_i}(\omega) = \begin{cases} 1 &\mbox{ für }\omega\in A_i\\ 0 &\mbox{ für }\omega\notin A_i\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

In diesem Sinne "zählt" $\begin{eqnarray*} S(\omega) = \sum_{i=1}^n 1_{A_i}(\omega) \end{eqnarray*}$ , in wie vielen der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_1,\ldots,A_n \end{eqnarray*}$ das Elementarereignis $\begin{eqnarray*} \omega\in \Omega \end{eqnarray*}$ liegt. D.h., dieses $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist eine diskrete Zufallsgröße mit möglichen Werten aus $\begin{eqnarray*} \{0,1,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von MMchen60
Falls ich da einigermaßen logisch vorgegangen bin, wie schreibe ich jetzt $\begin{eqnarray*} S(\Omega) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ gehört nicht zur Definitionsmenge - sondern $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist die Definitionsmenge.

Du kannst höchstens - wie man es bisweilen zulässt - darunter $\begin{eqnarray*} S(\Omega) := \left\{ S(\omega) \bigm| \omega\in \Omega \right\} \end{eqnarray*}$ verstehen. Was da rauskommt, hängt von den konkreten $\begin{eqnarray*} A_1,\ldots,A_n \end{eqnarray*}$ ab - allgemein klar ist lediglich $\begin{eqnarray*} S(\Omega) \subseteq \{0,1,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von MMchen60
Das führte mich zur Überlegung, dass wenn alle Bernoulli-Experimente dieselbe Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ besitzen, die einzelnen Ergebnisse der Versuche entgwaeder "wahr"="1" oder "falsch"="0" sind.
[...]
Und da ja alle Experimente dieselbe Wahrscheinlichkeit für Erfolg haben, ist das doch eine Gleichverteilung, oder?

Kommt nicht so richtig deutlich rüber, aber man soll es sich wohl dazu denken: Mit $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ meinst du das Ereignis "Erfolg im $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Versuch des Bernoulli-Experiments" ?

Die Verteilung von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist dann nicht die Gleichverteilung, sondern die Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ .

04.03.2024, 11:12

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Kommt nicht so richtig deutlich rüber, aber man soll es sich wohl dazu denken: Mit $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ meinst du das Ereignis "Erfolg im $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Versuch des Bernoulli-Experiments" ?

Die Verteilung von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist dann nicht die Gleichverteilung, sondern die Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ .

Ja, da habe ich eine gewisse Verständnisschwierigkeit. Klar, die einzelnen Experimente $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ sind binomialverteilt. Es steht doch aber in der Aufgabe, dass $\begin{eqnarray*} P(A_i)=p \end{eqnarray*}$ sein soll für alle $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ . Das verstehe ich so, dass jedes einzelne Experiment von den vielen immer dieselbe Wahrscheinlichkeit p haben soll, also die Menge der Gesamtexperimnente eigentlich eine Laplace-Verteilung ist. Und die ist doch gleichverteilt oder? Interpretiere ich da zu viel hinein?
VG MM

04.03.2024, 11:24

HAL 9000

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Ich kann nur vermuten, dass du - wie so viele - Unabhängigkeit mit Disjunktheit verwechselst:

Was du meinst wäre der Fall, wenn immer genau einer der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Versuche erfolgreich verläuft, und die zugehörige Versuchsnummer $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ist die Zufallsgröße, außerdem ist in dem Fall $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . In dem Fall sind die $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ paarweise disjunkt und ihre Vereinigung ist gleich der Grundmenge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

Beim Bernoulli-Experiment geht es um eine fundamental andere Situation: Hier sind die $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ nicht disjunkt, sondern unabhängig jeweils mit $\begin{eqnarray*} P\left(A_i\right)=p \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p\in [0,1] \end{eqnarray*}$ . Und die Zufallsgröße ist nicht $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , sondern die Anzahl der $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ , die eintreten.

Zitat:

Original von MMchen60
Klar, die einzelnen Experimente $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ sind binomialverteilt.

Das ist semantischer Unsinn. $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ kennzeichnet das Ereignis, dass Versuch $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ erfolgreich verläuft. Nochmal: Binomialverteilt ist hier die Zufallsgröße "Anzahl der Erfolge", d.h. Anzahl der eintretenden Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Ich weiß nicht, wo du dir was zum Bernoulli-Experiment angelesen hast, aber irgendwie scheinst du einiges an Inhalten da durcheinander zu bringen.

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