Nullstellen berechnen

05.03.2024, 18:16

Fragezeichen2

Nullstellen berechnen

Meine Frage:
Es soll die Auslenkung y, bei der Das Pendel die Geschwindigkeit 0 hat, berechnet werden.

Gegeben ist das Anfangswertproblem:

$\begin{eqnarray*} y'(t)=\sqrt{1-y(t)^{2}+\frac{y(t)^{4}}{12}} y(0)=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Um die Geschwindigkeit zu berechnen, würde ich $\begin{eqnarray*} y'(t)=0 \end{eqnarray*}$ setzen und nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-y^{2}+\frac{y^{4}}{12}}=0 |^{2} 1-y^{2}+\frac{y^{4}}{12}=0 |* \frac{12}{12} \frac{1}{12}*(y^{4}-12y^{2}+12) =0 |* 12 y^{4}-12y^{2}+12=0 \end{eqnarray*}$

Das kann man auch schreiben als:
$\begin{eqnarray*} (y^{2})^{2}-12y^{2}+12=0 \end{eqnarray*}$

Laut Lösung wäre die nächste Umformung:
$\begin{eqnarray*} y^{2}=6-\sqrt{36-12} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht wie ich von $\begin{eqnarray*} (y^{2})^{2}-12y^{2}+12=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} y^{2}=6-\sqrt{36-12} \end{eqnarray*}$ komme.

Wenn ich auf beiden Seiten die Wurzel ziehe, habe ich:
$\begin{eqnarray*} (y^{2})^{2}-12y^{2}+12=0 (y^{2})^{2}=12y^{2}-12 |\sqrt{} y^{2}=\sqrt{12y^{2}-12} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich von $\begin{eqnarray*} y^{2}=\sqrt{12y^{2}-12} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} y^{2}=6-\sqrt{36-12} \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank im Voraus!

05.03.2024, 18:22

willyengland

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Quadratische Ergänzung.

05.03.2024, 18:35

Helferlein

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@Willy:
Im Studium sollte die pq-Formel bekannt sein, daher würde ich nicht mit quadratischer Ergänzung arbeiten.

05.03.2024, 19:02

Fragezeichen2

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Danke, war mit der pq-Formel tatsächlich sehr schnell gelöst smile

05.03.2024, 19:15

willyengland

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Zitat:

Original von Helferlein
@Willy:
Im Studium sollte die pq-Formel bekannt sein, daher würde ich nicht mit quadratischer Ergänzung arbeiten.

Warum das?
Im Grunde ist es ja das selbe.

05.03.2024, 19:17

HAL 9000

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Man sollte vielleicht noch kurz diskutieren, warum die andere Lösung $\begin{eqnarray*} y^2 = 6 + \sqrt{24} \end{eqnarray*}$ der quadratischen Gleichung nicht in Frage kommt:

Hängt damit zusammen, dass man von $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ auf "stetigem Weg" nicht zu $\begin{eqnarray*} y(t) = \pm \sqrt{6 + \sqrt{24}} \end{eqnarray*}$ gelangen kann, da für $\begin{eqnarray*} \sqrt{6 - \sqrt{24}} < |y| < \sqrt{6 + \sqrt{24}} \end{eqnarray*}$ der Radikand negativ ist und die DGL da keinen Sinn macht.

Wenn man hingegen Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} y(0)= -4 \end{eqnarray*}$ hätte, sähe die Sache ganz anders aus...

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