Satz des Archimedes

05.03.2024, 18:07

Evelyn2003

Satz des Archimedes

Kann mir jemand erläutern warum bei dem Beweis des Satzes des Archimedes im Screenshot für das Supremum folgender Ausdruck gilt:

$\begin{eqnarray*} n>S-1 \end{eqnarray*}$ obwohl weiter unten im Screenshot $\begin{eqnarray*} y>S-\epsilon \end{eqnarray*}$ steht. Woher kommt bitte die -1? Es könnte ja auch $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -3 \end{eqnarray*}$ oder auch einfach $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ sein. Jedenfalls verstehe ich auch nicht wieso $\begin{eqnarray*} n+1>S \end{eqnarray*}$ der Bedeutung vom $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ widerstreitet?

Nur weil ich jetzt eine Äquivalenzumformung ausführe also die $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite, indem ich $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ mache - gilt die Bedingung fürs Supremum nicht mehr?

$\begin{eqnarray*} n>S-\epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n+\epsilon>S \end{eqnarray*}$

?

05.03.2024, 20:09

URL

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RE: Satz des Archimedes
Wenn es für jedes positive $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ein Element gröser als $\begin{eqnarray*} S-\varepsilon \end{eqnarray*}$ gibt, dann insbesondere für $\begin{eqnarray*} \varepsilon=1 \end{eqnarray*}$ .
Im vorliegenden Fall gibt es also eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n>S-1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist die natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ größer als S. Widerspruch

06.03.2024, 12:26

Evelyn2003

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RE: Satz des Archimedes

Zitat:

Original von URL
Wenn es für jedes positive $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ein Element gröser als $\begin{eqnarray*} S-\varepsilon \end{eqnarray*}$ gibt, dann insbesondere für $\begin{eqnarray*} \varepsilon=1 \end{eqnarray*}$ .

Meinst du damit y?

Zitat:

Original von URL
Wenn es für jedes positive $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ein Element gröser als $\begin{eqnarray*} S-\varepsilon \end{eqnarray*}$ gibt, dann insbesondere für $\begin{eqnarray*} \varepsilon=1 \end{eqnarray*}$ .

Warum insbesondere für $\begin{eqnarray*} \varepsilon=1 \end{eqnarray*}$ ?

06.03.2024, 13:07

Elvis

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Wieso "Warum" ? Warum nicht ?
Was für alle reellen Zahlen gilt, gilt auch für die reelle Zahl 1. Die Zahl 1 ist für den Beweis nützlich.

06.03.2024, 13:30

Evelyn2003

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Aber ich dachte das man es möglichst für $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ beliebig zeigen muss oder allgemein bei Beweisen von einem beliebigen Wert ausgeht und keine fixe Werte wie die 1 hierbei verwendet?

06.03.2024, 14:21

HAL 9000

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Herrje, schwere Geburt...

Lies dir den Beweis gründlich durch, statt mechanisch in Automatismen zu verfallen wie "sobald ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ auftaucht muss ich irgendwas für all diese $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ machen/beweisen/usw."

Um so etwas geht es hier überhaupt nicht: Es wird eine vorhandene Eigenschaft, die für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gilt, für die spezielle Wahl von $\begin{eqnarray*} \varepsilon=1 \end{eqnarray*}$ genutzt. Das ist doch vollkommen legitim, und gängige Praxis in vielen Beweisen. Es ist NICHT Aufgabe dieses Beweises hier, jene da genutzte Eigenschaft erst noch zu beweisen - die wird als bekannt vorausgesetzt (manchmal ist es sogar eine Definition bzw. unmittelbar aus einer solchen hervorgegangen).

06.03.2024, 15:20

Romaxx

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RE: Satz des Archimedes

Zitat:

Original von Evelyn2003
...

Zitat:

Warum insbesondere für $\begin{eqnarray*} \varepsilon=1 \end{eqnarray*}$ ?

Welche natürliche Zahl fällt dir auf Anhieb als Gegenbeispiel ein, wenn dir jemand sagt, die natürlichen Zahlen sind beschränkt und $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist die kleinste, obere Schranke? Das beantwortet vielleicht deine Frage, warum gerade dieses $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ genommen wurde. Wie aber schon mehrfach in diesem Thema erwähnt, ist das nicht die einzige Wahl für $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ , um einen Widerspruch herzuleiten.

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